моделирование движения автомобиля на повороте

Физика автомобиля для игр.

Автор: Marco Monster

Введение

Эта статья рассказывает о поведении автомобилей в играх, а именно о физике автомобиля.

Одним из ключевых пунктов в упрощении физики транспортного средства является раздельная обработка продольной и боковой силы. Продольная сила работает в направлении корпуса автомобиля (или же в противоположном направлении). Это сила тяги, тормозящая сила, сила трения и сила сопротивления перемещению (= сопротивление воздуха). Вместе эти силы управляют ускорением или замедлением автомобиля, следовательно, и скоростью автомобиля. Боковые силы позволяют автомобилю поворачиваться. Эти силы вызваны поперечным трением на колесах. Мы также рассмотрим угловой момент скорости автомобиля и момент вращения, вызванные боковыми силами.

Примечание и соглашения

На протяжении все этой статьи я буду предполагать, что задние колеса являются ведущими (для четырех ведущих колес нужно применять необходимую адаптацию)

Все физические величины я буду измерять в единицах СИ (метры, килограммы, Ньютоны и т.д.).

Физика движения по прямой

Сначала рассмотрим автомобиль, двигающийся по прямой линии. Какие силы задействованы здесь? Прежде всего, это сила тяги, то есть сила, которая передается двигателем через задние колеса. Двигатель вращает колеса вперед (на самом деле он передает момент вращения на колеса), колеса «толкают назад» поверхность дороги, в результате поверхность дороги выталкивает колеса в противоположном направлении, то есть вперед. Сейчас мы просто положим, что сила тяги эквивалентна по величине переменной Engineforce, которая управляется непосредственно пользователем.

Так же, еще есть сопротивление вращения. Это вызвано трением между резиной и дорожной поверхностью, так как колеса прокручиваются, трением на осях и т.д. Мы обозначим это силой, которая пропорциональна скорости, с использованием другой константы.

При низких скоростях трение (F_rr) является основной силой сопротивления, при высоких скоростях F_drag превышает по значению F_rr. Приблизительно при 100 км/час (60 миль в час, 30 м/с) они равны ([Zuvich]). Это означает, что C_rr должен быть равен приблизительно 30-ти C_drag.

Обратите внимание, что если вы двигаетесь по прямой линии, то силы аэродинамического сопротивления и трения будут направлены противоположно силе тяги (F_traction). То есть вы вычитаете силу аэродинамического сопротивления из силы сцепления. И когда автомобиль движется с постоянной скоростью, то силы находятся в равновесии, и F_long равен нулю.

Ускорение (a) автомобиля (в м/с 2 ) определено равнодействующей силой автомобиля (в Ньютонах) и массой автомобиля М (в килограммах) по второму закону Ньютона:

Скорость автомобиля (в метрах в секунду) определяется, как интеграл ускорения через какое-то время (dt). Это звучит слишком сложным, но следующее уравнение поможет нам. Воспользуемся методом Эйлера для численного интегрирования.

Позиция автомобиля свою очередь определяется, как интеграл скорости по dt.

Используя эти три силы, мы уже довольно точно можем моделировать ускорение автомобиля. Вместе они также определяют максимальную скорость автомобиля для данной мощности двигателя. То есть, нет необходимости устанавливать максимальную скорость где-нибудь в коде, она автоматически вычисляется из уравнений. Дело в том, что уравнения формируют своего рода цикл отрицательной обратной связи. Если сила тяги (F_traction) превышает все другие силы, то автомобиль ускоряется. Увеличивающаяся скорость, также заставляет увеличиваться силы сопротивления. Равнодействующая сила уменьшается, а следовательно уменьшается и ускорение. В некоторой точке силы сопротивления и сила тяги компенсируют друг друга, и автомобиль достигает своей максимальной скорости для данной мощности двигателя.

Источник

Моделирование движения на перекрестке дорог

ПОМОГИТЕ ВЫПОЛНИТЬ ЗАДАНИЕ.

На перекрестке двух автомобильных дорог расположены регулирующие движение светофоры. Каждая из дорог содержит несколько полос (рядов), автомобили двигаются в обоих направлениях. Светофоры обеспечивают проезд автомобилей по обеим дорогам, включая левый и правый повороты автомобилей, а также переход через эти дороги пешеходов.

Программа моделирования и визуализации движения на таком перекрестке служит для исследования характера возникающих на перекрестке автомобильных дорог заторов и их рассасывания в зависимости от плотностей потоков автомобилей и режимов работы светофоров.

Автомобили должны появляться на концах каждой из дорог случайным образом, проезжать по ним со скоростью, заданной при их появлении, притормаживая и останавливаясь при необходимости на перекрестке, и исчезая после проезда всей дороги на ее противоположном конце. У каждого автомобиля может быть своя начальная скорость, она определятся как случайная величина из некоторого диапазона (например, от 30 до 120 км/час). Случайной величиной является также интервал между появлениями автомобилей на каждой дороге – от диапазона изменения этой величины (и закона ее распределения) зависит плотность потока автомобилей. Как случайную величину, определяемую в момент появления автомобиля на дороге, следует моделировать и направление его проезда через перекресток (прямо / налево / направо).

Автомобили должны перестраиваться из одного ряда в другой и пересекать перекресток в соответствии с правилами дорожного движения. В частности, в левый ряд перед светофором становятся автомобили, которым необходим поворот налево.

Кроме правил смены полосы, в программе должны быть зафиксированы законы торможения и ускорения автомобилей на перекрестке, которые в общем случае зависят от допустимого сближения между автомобилями, величин их скорости и др.

Возможность аварий (например, из-за нарушений правил дорожного движения) в модели можно не учитывать.

Цель проводимого моделирования – изучение различных режимов работы светофоров для поиска режима их оптимальной работы. Следует рассмотреть два типа режимов работы:

· статический, когда интервалы свечения каждого цвета (желтый, зеленый, красный) зафиксированы заранее,

· динамический, при котором интервалы свечения изменяются в соответствии с количеством автомобилей (и пешеходов), ожидающих проезда (прохода) через дорогу.

В изменяемые параметры моделирования движения следует включить: тип режима работы светофора, интервалы свечения каждого цвета (для статического режима), дистанцию видимости светофора, диапазон возможных скоростей автомобилей, интервалы случайного появления автомобилей на каждой из дорог.

Визуальная картина движения на перекрестке дорог должна содержать изображения дорог, светофоров, движущихся машин. Полезно отобразить тем или иным образом (например, разными цветами) возможные направления движения автомобиля через перекресток (прямо/налево/направо). Желательно также предусмотреть вывод некоторых подсчитанных в ходе моделирования величин, к примеру, среднее время остановки автомобилей на перекрестке.

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Источник

Моделирование движения автомобиля на повороте

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ

Соответствие выбранных парамет­ров автомобиля его назначению уста­навливается на основании пробеговых испытаний в характерных для данного автомобиля условиях. Оценочными па­раметрами обычно являются средняя скорость и расход топлива, определяю­щие производительность и экономич­ность автомобиля. Проведение пробеговых испытаний является трудоемким процессом, а изменение параметров спроектированного и изготовленного в опытных образцах автомобиля связано с большими затратами средств и вре­мени. Поэтому на стадии проектирова­ния желательно иметь максимальный объем информации о предполагаемом поведении автомобиля в реальных условиях эксплуатации.

Таким образом, приведенная схема моделирования в принципе позволяет учесть все основные факторы, от кото­рых зависит режим движения автомо­биля. Конечными результатами моде­лирования являются параметры, ха­рактеризующие производительность ав­томобиля и его топливную экономич­ность. В некоторых случаях результаты моделирования используются для на­хождения нагрузочных режимов рабо­ты трансмиссии, двигателя или ходо­вой части.

Разработанные в последнее десятилетие методы моде­лирования процесса движения автомо­биля на вычислительных машинах по­зволяют получить объективные данные о его режимах движения в заданных эксплуатационных условиях.

Под моделированием понимается способ изучения системы или явления путем замены реальной системы ее фи­зической или математической моделью, более удобной для изучения, но сохраняющей все существенные черты ори­гинала. В частности, в модели систе­мы водитель — автомобиль — дорога должны быть три подсистемы (води­тель, автомобиль, дорога), а также определены условия их взаимодействия.

Разработаны методики моделирования процесса движения автомобиля приме­нительно к цифровым и аналоговым вычислительным машинам, а также аналогово-цифровым комплексам.

Принципиальная схема моделирова­ния не зависит от типа вычислительного устройства. В схему включены три вышеназванные подсис­темы и определена взаимосвязь между ними. Кроме того, в схему обычно, включают подсистему регистрации ре­жимов движения.

В общем виде дорожные условия характеризуются макропрофилем, коэффициентом сцепления, ровностью по­крытия, извилистостью трассы, шири­ной проезжей части дороги, интенсив­ностью движения и ограничениями ско­ростей, обусловленными регулировани­ем движения и наличием на дорогах помех различного рода.

С точки зре­ния влияния этих условий на режим движения автомобиля их характери­стики сводятся к двум случайным про­цессам, описывающим изменение укло­нов (коэффициентов сопротивления подъему) и максимально допустимой скорости движения в функции пути. Подсистема «дорога» предназначена для моделирования этих процессов. Процессы могут генерироваться как случайные сигналы с заданными веро­ятностными характеристиками или представлять собой конкретные функ­циональные зависимости. В первом случае модель дороги считается веро­ятностной, а во втором — детерминированной, поскольку ее параметры соот­ветствуют конкретной реальной или условной дороге, принятой за типовую.

Принципиально методика создания вероятностной модели дороги не отли­чается от общей методики получения случайного процесса с заданными ста­тистическими характеристиками. В рас­сматриваемом случае модель состоит из двух генераторов случайных про­цессов (генераторов случайных чисел при моделировании на цифровой вы­числительной машине) и двух форми­рующих фильтров с заданными переда­точными характеристиками. Одна из систем — генератор с формирующим фильтром — обеспечивает случайный процесс, соответствующий изменению уклонов дороги, а вторая — случайный процесс, описывающий ограничения скоростей движения. На реальных до­рогах ограничения скоростей движения связаны с профилем дороги и ее кри­визной в плане. Поэтому при органи­зации вероятностной модели дороги возникают определенные трудности учета этих связей. Принципиально ве­роятностная модель может дать более объективные характеристики поведения автомобиля в исследуемых условиях эксплуатации. Однако при расчетах ре­жимов движения автомобиля такие мо­дели применяются в настоящее время редко, так как решение по ним нахо­дится методом статистических испыта­ний, требующим для получения устано­вившихся оценок значительного ма­шинного времени. Кроме того, в настоя­щее время не накоплен еще достаточ­ный экспериментальный материал по вероятностным характеристикам дорог и ограничениям скоростей движения и их корреляционной связи.

При построении детерминированной модели используют экспериментальные данные, полученные при проезде авто­мобилем по типовой дороге, или дан­ные, рассчитываемые по технической документации. Для построения модели дороги по экспериментальным данным автомобиль, близкий по своим харак­теристикам к проектируемому, обору­дуют измерительной аппаратурой и со­вершают несколько заездов по выбран­ному участку дороги. В процессе дви­жения регистрируют путь, углы подъе­мов и спусков, ограничения скоростей движения. После обработки измерен­ных параметров составляют модель до­роги в виде таблицы, в которой указы­ваются координаты пути и соответ­ствующие им уклоны и ограничения скоростей движения.

В процессе решения координаты пу­ти и соответствующие им дорожные уклоны передаются в подсистему моде­лирования динамики автомобиля и действий водителя, а ограничения ско­рости — в подсистему моделирования действий водителя.

В подсистеме моделирования дина­мики автомобиля интегрированием дифференциального уравнения движе­ния определяются затрачиваемая дви­гателем мощность, скорость и ускорение автомобиля, пройденный путь, те­кущий расход топлива. Пройденный автомобилем за шаг интегрирования путь передается в подсистему модели­рования дороги, где определяется ко­ордината пути для последующего шага интегрирования. Текущие значения ско­рости и ускорения автомобиля пере­даются в подсистему моделирования действий водителя.

В подсистеме моделирования дей­ствий водителя производится сравнение текущей скорости автомобиля с допу­стимой, а также оценивается режим ра­боты двигателя. По результатам срав­нения путем логических операций опре­деляется для последующего шага интегрирования режим работы автомобиля: сохраняется или изменяется подача топлива, происходит ли переключение ступеней в коробке передач или возни­кает необходимость изменения скоро­сти автомобиля торможением.

Источник

Моделирование движения автомобиля на повороте

К ОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.

Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

Смирнов Илья Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАНОСА АВТОМОБИЛЯ

Специальность 01.02.01 – теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научные руководители д.ф.-м.н., проф. Новожилов И.В.

к.ф.-м.н., с.н.с. Влахова А.В.

Москва 2011 2 Содержание Введение. § 1. Анализ подходов к математическому и численному моделированию движения автомобиля. 1.1. О применении «велосипедной» модели движения колесных транспортных средств. 1.2. Модели взаимодействия колеса с опорной поверхностью. 1.3. Четырехколесные модели автомобиля для различных режимов движения. § 2. Аппарат фракционного анализа. Глава 1. Постановка задачи. Оценка области применимости «велосипедной» модели. § 1.1. Описание исследуемой системы и постановка задачи. § 1.2. Сравнение «велосипедной» и четырехколесной моделей движения автомобиля. 1.2.1. Описание четырехколесной модели автомобиля. 1.2.2. Численное исследование «велосипедной» и четырехколесной моделей. Глава 2. Математические модели движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой. § 2.1. Асимптотическая модель движения.

. 2.1.1. Построение модели. 2.1.2. Доказательство корректности модели. § 2.2. Анализ упрощенных моделей движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой. 2.2.1. Сравнение асимптотических моделей. 2.2.2. Исследование неголономной модели движения автомобиля. 2.2.3. Численное исследование упрощенных моделей. § 2.3. Выводы к главе 2. Глава 3. Математическая модель переменной структуры для описания заноса автомобиля. § 3.1. Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления передних колес с дорогой. 3.1.1. Построение модели. 3.1.2. Доказательство корректности модели. § 3.2. Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления задних колес с дорогой. 3.2.1. Построение модели. 3.2.2. Доказательство корректности модели. § 3.3. Асимптотическая модель движения в случае потери сцепления с дорогой колес обеих осей. 3.3.1. Построение модели. 3.3.2. Доказательство корректности модели. § 3.4. Численное исследование модели переменной структуры. § 3.5. Выводы к главе 3. Заключение. Литература. Введение Современная автомобильная промышленность является достаточно развитой, высокотехнологичной отраслью. Законы рынка заставляют автопроизводителей всесторонне повышать качество выпускаемой ими продукции, уделяя внимание как дизайну автомобилей, так и их комфорту, надежности и практичности. Особое внимание привлекается к вопросам безопасности движения, в частности, к проблемам предотвращения ситуаций, приводящих к заносу автомобиля.

Разработка надежного и безопасного автомобиля предполагает построение и анализ соответствующих математических моделей на начальном этапе проектирования. Статические математические модели дают возможность исследования эффективности так называемых пассивных средств безопасности, предназначенных для защиты жизни и здоровья водителя и пассажиров автомобиля в случае аварии. К ним относятся инерционные ремни, подушки безопасности, мягкие элементы передней панели, безопасные стекла, энергопоглощающие бамперы, различные элементы, усиливающие жесткость корпуса автомобиля.

Использование динамических моделей позволяет оценить влияние конструктивных параметров автомобиля на его движение, разработать эффективные алгоритмы управления автомобилем и реализовать их в виде так называемых средств активной безопасности. В отличие от пассивных, средства активной безопасности контролируют движение и вмешиваются в процесс управления автомобилем, помогая снизить вероятность возникновения аварийных ситуаций и минимизировать их негативные последствия. К ним относятся антиблокировочная и антипробуксовочная системы, система курсовой устойчивости, электронная система блокировки дифференциала и проч.

Динамические модели используются также при разработке программного обеспечения для различных тестовых стендов и тренажеров, позволяющих сформировать у водителей необходимые навыки управления автомобилем.

По статистике большинство автомобильных аварий происходит вследствие потери сцепления колес с дорогой, приводящей к возникновению заноса. В диссертационной работе описывается движение автомобиля в различных ситуациях, возникающих при разгоне, торможении, прохождении поворота.

Проводится построение динамической модели переменной структуры, позволяющей исследовать влияние на возникновение и развитие заноса ряда параметров, задающих конструкцию автомобиля, а также управляющих воздействий: угла поворота передних колес, разгонных и тормозных моментов.

Определим используемое в данной работе понятие заноса. Рассмотрим движение автомобиля на конечных интервалах времени T

T0, в течение которых развиваются процессы разгона, торможения, поворота. Зададимся программным, невозмущенным, движением, например, движением по средней линии дорожной полосы с требуемой путевой (продольной) скоростью. Будем предполагать, что соответствующие программные значения угла поворота передних колес, разгонных и тормозных моментов не превосходят ограничений, определяемых нормами безопасности движения. Зададимся начальными отклонениями параметров бокового движения автомобиля от их невозмущенных, программных, значений. Если за рассматриваемое конечное время T0 эти отклонения возрастают до неприемлемых по требованиям безопасности движения значений 0, то будем называть режим движения заносом.

Таким образом, занос определяется как проявление технической неустойчивости на конечном интервале времени [1]. Приведенное определение, с одной стороны, включает в себя традиционную трактовку заноса как потери сцепления с дорогой колес задней оси автомобиля и возникновения «большой» по абсолютной величине угловой скорости корпуса, приводящей к существенному отклонению параметров в случае программного прямолинейного движения. С другой стороны, данное определение позволяет рассматривать в качестве заноса и другие ситуации отклонения от программного движения, например, случай прямолинейного движения вместо программного движения в повороте. Подобный режим движения чаще всего возникает при потере сцепления передних управляемых колес в сложных погодных условиях.

Изучение динамики автомобиля связано с рассмотрением нелинейных систем дифференциальных уравнений высокого порядка. Их качественный анализ, как правило, сложен. Численный анализ подобных систем в реальном времени затруднен сильным разнесением характерных постоянных времени движения, в связи с чем приходится проводить интегрирование уравнений системы на больших характерных временах с малым шагом в долях малого характерного интервала времени. Вместе с тем для реализации цели исследования изучаемые уравнения часто получаются описательно избыточными. Поэтому оказывается актуальным приближенное моделирование движения.

В настоящей работе рассматривается динамика автомобиля, движущегося с небольшими боковыми наклонами при малых различиях характеристик сцепления правых и левых колес одной оси с дорогой, в предположении недеформируемости деталей кузова, рулевого управления, крепления колес и проч. В рамках такой постановки постоянные времени движения автомобиля могут быть разбиты на три группы:

– «медленное» время траекторных движений, имеющее порядок 1 с;

– «среднее» время боковых движений точек контакта колес с дорогой, имеющее порядок 0,1 с;

– «быстрое» время продольных движений точек контакта колес с дорогой, имеющее порядок 0,01 с.

При движении с потерей сцепления с дорогой колес обеих осей «быстрым» является характерное время вращения колес, имеющее порядок 0,1 с.

Методы фракционного анализа, объединяющего методы теории размерности и подобия [29] и методы теории сингулярных возмущений [5, 6, 39], позволяют упростить исходную модель автомобиля, составленную в соответствии с законами классической механики. При помощи нормализации на классе «медленных» траекторных движений исходная, размерная, система приводится к сингулярно возмущенной форме с малыми параметрами, отражающими малость отношения указанных выше малых и больших характерных времен. Методы теории сингулярных возмущений позволяют, далее, разделить «быстрые» и «медленные» движения автомобиля, т.е. построить приближенные модели его движения на каждом из временных интервалов, и оценить погрешность и область применимости указанных моделей. Основное внимание в работе уделено изучению траекторных движений, описывающих процессы разгона, торможения, прохождение поворота и заноса автомобиля.

В настоящей работе впервые построена динамическая модель переменной структуры, которая образована набором приближенных математических моделей, описывающих «медленные», траекторные, движения автомобиля в процессе заноса при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой.

Результаты работы получены путем упрощения широко используемой в практических задачах «велосипедной» модели движения автомобиля. Проведено численное сравнение рассматриваемой «велосипедной» модели с известной в литературе четырехколесной моделью автомобиля, достоверность которой подтверждена большим числом испытаний реального автомобиля. При построении приближенных моделей движения автомобиля в работе использованы подходы, основанные на строгих математических методах.

Теоретическая ценность работы заключается в развитии подходов фракционного анализа, ориентированных на создание упрощенных математических моделей движения колесных транспортных средств для различных режимов движения. Предложены методика введения в уравнения движения колесных транспортных средств иерархической структуры малых параметров и подходы к исследованию корректности предельных переходов по введенным малым параметрам. Построенные в диссертационной работе приближенные модели движения автомобиля могут быть использованы для верификации более сложных моделей автомобиля, а также для формирования алгоритмов, используемых в программном обеспечении тренажерных комплексов водителя и приобретающих в последнее время все большую актуальность средств активной безопасности автомобиля, работающих в режиме реального времени.

Настоящая работа состоит из введения и трех глав. Во введении анализируются подходы к проблеме математического моделирования динамики автомобиля. Приводятся необходимые понятия и теоремы методов фракционного анализа, используемых в дальнейшем при решении задачи. В первой главе формируется исходная, «велосипедная», математическая модель, описывающая движения автомобиля с малыми боковыми наклонами и малыми различиями характеристик сцепления колес одной оси с дорогой. Используемая модель контактных сил учитывает явление псевдоскольжения при малых скоростях точек пятна контакта колеса относительно дороги. С применением численных методов проводится количественная оценка области применимости исходной модели. Обсуждается постановка задачи приближенного моделирования «быстрых» и «медленных» составляющих движения автомобиля.

Вторая глава посвящена приближенному моделированию движения автомобиля без потери сцепления колес с дорогой. В третьей главе построена математическая модель переменной структуры, позволяющая описывать занос автомобиля. Указанная модель образована приближенными моделями движения автомобиля при различных вариантах потери сцепления колес с дорогой и условиями перехода от одной модели к другой.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям профессору кафедры прикладной механики и управления д.ф.–м.н.

И.В. Новожилову и старшему научному сотруднику лаборатории управления и навигации к.ф.–м.н. А.В. Влаховой за постановку задачи и помощь в работе, а также профессору кафедры прикладной механики и управления д.ф.–м.н.

Ю. Г. Мартыненко за ценные замечания и рекомендации, д.ф.–м.н.

М.Х. Магомедову и ученому секретарю кафедры прикладной механики и управления, к.ф.–м.н. П.А. Кручинину за всестороннюю поддержку.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 04–01– 00759, 06–01–00517) и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы 2006–2008 г.»

Основные результаты работы опубликованы в статьях [13–17, 37, 38].

§ 1. Анализ подходов к математическому и численному моделированию движения автомобиля 1.1. О применении «велосипедной» модели движения колесных транспортных средств В работах, посвященных математическому и численному моделированию движения колесных транспортных средств, в частности автомобилей, часто используется «велосипедная» модель движения. Данная модель применяется при описании движений колесных транспортных средств с малыми боковыми наклонами в случаях, когда можно пренебречь различиями между характеристиками сцепления правых и левых колес одной оси с дорогой. В рамках этой модели передние колеса заменяются одним эквивалентным передним колесом, задние – одним задним. Движением переднего колеса управляет водитель или адаптивная система управления, ось вращения заднего колеса фиксирована в корпусе. Предполагается, что корпус и колеса являются абсолютно жесткими, и аппарат не имеет боковых наклонов. Такая модель использовалась при математическом моделировании траекторных движений и формировании алгоритмов управления транспортными и робототехническими системами [12, 30, 32, 34, 52, 62, 66, 70, 77], в том числе в специализированных средах моделирования Modelica, Dymola, Adams, Spacar, Simpack, Carsim [46, 49, 59, 61] и проч.

Применительно к автомобилю указанные выше режимы движения характерны, прежде всего, для неэкстремальных условий вождения [60]. К ним относятся движения без проскальзывания колес относительно дороги, движения с невысокой путевой скоростью, малым углом поворота управляемых колес и, как следствие, малыми углами увода [32, 64, 65]. В [58] отмечено, что «велосипедная» модель достаточно хорошо описывает динамику автомобиля в случаях, когда величина бокового ускорения не превосходит 0,3–0,4 g. Помимо этого, велосипедная модель может применяться и для случаев движения автомобиля по скользкой поверхности с достаточно большой путевой и угловой скоростью, когда коэффициент сцепления колес с дорогой мал, следовательно, на колеса автомобиля действуют сравнительно малые по абсолютной величине контактные силы [55, 64]. Это позволяет пренебрегать перераспределением нагрузки между колесами одной оси и использовать «велосипедную» модель для описания заноса автомобиля [12, 71].

Разумеется, «велосипедная» модель не позволяет описывать движения автомобиля, при которых различие между характеристиками сцепления колес одной оси с дорогой велико. К таким режимам относятся движение на «миксте» (движение по поверхности с различными коэффициентами сцепления для правых и левых колес одной оси), движение с неравномерным сопротивлением качению, а также неравномерным распределением тяговых и тормозных сил и моментов между колесами одной оси. Подобные режимы движения могут возникать при наличии в автомобиле технических неисправностей, таких, как неравномерное или неодновременное срабатывание тормозных механизмов, могут быть следствием конструктивных особенностей, например, наличия приводов различной длины или работы дифференциалов, а также влиянием внешних факторов. При использовании «велосипедной» модели для описания движения автомобиля необходимо учитывать подобные ограничения и заранее оговаривать класс рассматриваемого движения.

В [54] точность «велосипедной» модели оценивается путем анализа экспериментальных данных. Проводится серия заездов, в ходе которых используются автомобили, оборудованные датчиками продольной скорости, угла поворота управляемого переднего колеса и GPS. В каждом из заездов автомобиль движется с постоянной скоростью и углом поворота управляемого колеса. На основании полученных данных строятся усредненные оценки вектора состояния и других параметров движения автомобиля в зависимости от продольной скорости и угла поворота управляемых колес, которые сравниваются с результатами, полученными при помощи «велосипедной» модели. Показано, что «велосипедная» модель достаточно точно описывает движения автомобиля с постоянной скоростью и переменным углом поворота, а также с постоянным углом поворота и постоянной или незначительно изменяющейся продольной скоростью движения. Наименьшую точность модель «велосипедная» демонстрирует в ситуации сильного изменения продольной скорости, что характерно, например, для начального этапа интенсивного разгона в повороте.

Как отмечено в [61], «велосипедная» модель часто используется 1) как объект исследования при изучении общих свойств сложных неголономных систем;

2) при качественном исследовании влияния конструктивных параметров на движение автомобиля;

3) при построении управлений с обратной связью.

Упомянутые выше работы относятся к первым двум группам. Работы, относящиеся к третьей группе, посвящены формированию и отладке алгоритмов, составляющих основу программного обеспечения тренажерных комплексов и контроллеров обратной связи, работающих в реальном времени и предназначенных для повышения уровня безопасности при управлении автомобилем. Остановимся на некоторых из них.

В [30] на основе «велосипедной» модели построена динамическая модель, позволяющая в реальном времени описывать составляющие движения автомобиля, развивающиеся в различных временных масштабах. Модель учитывает «медленные» движения на временах порядка нескольких секунд, характеризующие процессы разгона, торможения, поворота, заноса автомобиля, а также «быстрые» движения на временах порядка секунды и долей секунды, описывающие вертикальные и угловые колебания кузова за счет деформаций рессор и изменения скоростей вращения составляющих конструкции двигателя, трансмиссии и колес. Полученная модель использовалась при разработке программного обеспечения для тренажерного комплекса водителя. Обучающие программы тренажерного комплекса позволяют оценить имеющиеся у водителя навыки, повысить скорость и эффективность обучения начинающих водителей, а также контролировать процесс обучения.

В [51] разработан вспомогательный контроллер обратной связи, который позволяет водителю сохранить безопасную угловую скорость поворота автомобиля за счет управления углом поворота задних колес по информации об угле поворота передних колес. При построении алгоритма работы контроллера используется «велосипедная» модель автомобиля, движущегося с постоянной путевой скоростью. Углом поворота передних колес управляет водитель.

При построении управлений с обратной связью в большинстве работ используется линейная по углам увода и поворота переднего колеса «велосипедная» модель. Рассматривается движение транспортного средства с фиксированным центром масс, движущегося без боковых наклонов по горизонтальной ровной поверхности. Влияние аэродинамических сил и деформации пневматика на движение автомобиля не учитывается.

Предполагается, что контактные силы линейно зависят от углов увода и угла поворота переднего управляемого колеса [62].

В [55] используется «велосипедная» модель автомобиля, учитывающая малое боковое смещение поверхностей колес в пятне контакта относительно дороги. Осуществляется робастное управление углом поворота переднего колеса на основе информации, полученной от датчика угловой скорости корпуса автомобиля. При построении используется модель боковой контактной силы, линейная по малому углу поворота переднего управляемого колеса.

В [48] для проверки работы алгоритма вспомогательного робастного управления используется тест на выполнение маневра с двойным перестроением, одобренный Международной организацией по стандартам (ISO) (рис. В.1). По условиям теста автомобиль, разогнанный до достаточно высокой скорости, на ограниченном участке дороги перестраивается с занимаемой полосы движения, а затем возвращается обратно. Имитируемый подобным образом экстренный объезд препятствия выполняется только при помощи управления рулем.

Указанный тест используется для оценки безопасности движения автомобиля в экстремальных условиях: тест считается успешно пройденным, если в процессе маневрирования автомобиль не выкатывается за пределы ограниченного участка, т.е. согласно приведенному выше определению не входит в занос.

Рис. В.1. Прохождение стандартного теста на выполнение маневра с двойным перестроением [48] В [74] с применением «велосипедной» модели проводится формирование и тестирование алгоритмов работы системы круиз-контроль, предназначенной для оценки скорости, положения автомобиля и осуществления робастного управления, позволяющего сохранять заданную скорость и направление движения без участия водителя.

В [56] рассматривается управление автомобилем при помощи технологии steer-by-wire. (В системе steer-by-wire в конструкции рулевого управления отсутствует механическая связь между рулевым и управляемыми колесами автомобиля, поворот колес происходит за счет работы электродвигателей и вспомогательной электроники.) Известно, что в автомобилях, оснащенных подобными системами, боковые компоненты контактных сил создают возмущающий момент, который мешает работе двигателей, управляющих поворотом колес. Для устранения указанного недостатка проводилась корректировка алгоритма steer-by-wire. При формировании модифицированного алгоритма использовалась «велосипедная» модель движения автомобиля.

Испытания реального автомобиля показали, что скорректированный алгоритм позволяет устранить часть погрешностей и повысить точность оценки состояния системы.

1.2. Модели взаимодействия колеса с опорной поверхностью Задачи о качении колеса по шероховатой поверхности в теоретической механике часто решаются в предположении, что колесо – абсолютно твердое тело, взаимодействующее с поверхностью посредством трения качения. Для пневматических деформируемых колес или для транспортных средств, имеющих более одной колесной пары, неголономная модель нередко имеет сильное отклонение от данных эксперимента, либо приводит к переопределенной системе уравнений. Выход из положения дается моделями, учитывающими деформируемость колеса, т.е. конечномерность пятна контакта колеса и опорной поверхности. Указанные модели позволяют тем или иным образом сформировать соотношения между касательными и нормальными напряжениями в области контакта. В предположении, что контактные напряжения имеют равнодействующую, могут быть получены выражения для этой равнодействующей и главного момента контактных сил (так называемого момента верчения) в области взаимодействия в зависимости от скорости центра этой области. В ряде случаев при составлении уравнений движения транспортного средства от предположения о деформируемости колес отказываются и используют следующую гипотезу. Колесо предполагается абсолютно твердым, а к силам и моментам, приложенным к нему, добавляются полученные выражения для равнодействующей и главного момента контактных сил. Обоснование указанной гипотезы приведено в [24]. В транспортной механике наиболее часто рассматриваются модели с жесткими и деформируемыми колесами, основанные на описании явления бокового увода [24, 43, 45, 58, 67]. Модели, используемые в предположении деформируемости колес [50, 67, 77], в основном применяются в задачах, где требуется высокая точность результатов. Как правило, такие задачи решаются с применением численных методов. Модели с жесткими колесами в ряде случаев допускают качественное исследование. Большое число моделей контактного взаимодействия колеса с опорной поверхностью можно найти в работах [8, 24, 28, 26, 42, 44]. Остановимся на некоторых из них, часто используемых в приложениях.

В рамках гипотезы увода Рокара [24, 35] рассматривается колесо с пневматиком, испытывающим упругую деформацию под действием боковой силы, приложенной к оси колеса. При этом колесо начинает двигаться в направлении, образующем некий угол (угол увода) с геометрической плоскостью недеформируемого колеса. Угол увода считается пропорциональным величине боковой деформации пневматика, которая, в свою очередь, пропорциональна величине боковой силы. Вместо деформации пневматика может рассматриваться боковой увод абсолютно жесткого колеса, при этом в уравнения добавляется боковая сила, пропорциональная углу увода.

В теории Грейдануса [28], помимо боковой деформации, учитывается также деформация скручивания пневматика. Рассматривается центральная окружность, образованная пересечением центральной плоскости колеса с внешним контуром. Боковая деформация задается как расстояние от точки пятна контакта колеса, принадлежащей центральной окружности, до проекции основной, недеформированной, части центральной окружности на опорную плоскость. Скручивание задается углом между указанной проекцией и касательной к кривой, образованной деформированной частью центральной окружности, в рассматриваемой точке.

Модель Келдыша [21], помимо деформаций в пятне контакта, учитывает боковое отклонение колеса. Деформация колеса характеризуется тремя параметрами: расстоянием от центра пятна контакта до линии пересечения диаметральной плоскости обода колеса с опорной поверхностью, углом между вышеуказанной линией и средней линией пятна контакта, а также углом наклона обода колеса, отсчитываемым от вертикали до диаметральной плоскости.

В [43] выводятся уравнения движения колеса, деформируемого в радиальном, тангенциальном и боковом направлениях. Деформации колеса в радиальном и тангенциальном направлениях записываются с учетом переменного радиуса колеса, проведенного к центру области контакта с дорогой, боковые деформации определяются углом бокового увода. Рассматриваются движения колеса в различных режимах под действием вертикальной и боковой нагрузки, тягового и тормозного моментов, а также сил и моментов сопротивления. Точка приложения равнодействующей контактных сил предполагается смещенной относительно вертикали, проходящей через центр колеса. Приводятся результаты эксперимента по определению зависимости радиуса качения колеса от приложенного к колесу разгонного или тормозного момента, а также давления воздуха в пневматике.

В [19] рассмотрена задача о качении абсолютно твердого тела по горизонтальной ровной поверхности. Для описания контакта применяется модель комбинированного сухого трения Контенсу [23], согласно которой тело и поверхность имеют общую малую площадку контакта, внутри которой происходит взаимодействие в соответствии с законом сухого трения Кулона;

для описания распределения контактных сил по поверхности пятна контакта используется теория Герца. В работе решена задача определения касательных составляющих контактных сил и момента верчения путем интегрирования касательных напряжений по площадке контакта, получены зависимости указанных величин от коэффициента кулонова трения скольжения, нормальной реакции, радиуса пятна контакта, поступательной и угловой скоростей движущегося тела. Показано, что в данной двумерной модели, в отличие от одномерной модели кулонова трения, отсутствует понятие трения трогания, а трения скольжения и верчения являются взаимозависимыми. В качестве примера рассматривается задача о качении с сухим трением однородного тяжелого шара по горизонтальной поверхности. Отмечено, что можно упростить аналитическое решение задачи, воспользовавшись малостью параметра, характеризующего отношение радиуса пятна контакта к радиусу шара.

В [3] для описания контактно взаимодействия колеса с дорогой используется модель сухого трения Кулона, учитывающая так называемый Штрибек-эффект [47]: в модель включается падающий участок зависимости контактной силы от скорости центра области контакта, отражающий различие между силой трения трогания и максимальным значением силы трения скольжения.

Рис. В.2. Зависимости продольной компоненты контактной силы Px от величины продольного проскальзывания Ex (a), боковой компоненты контактной силы Py (б) и момента верчения Mz (в) от угла увода при различных значениях нормальной реакции N При решении вычислительных задач транспортной динамики часто используется так называемая Magic Formula Пацейки [66, 67]. Magic Formula позволяет в реальном времени с высокой степенью точности вычислять значения продольной, боковой контактных сил и момента верчения в пятне контакта в зависимости от нормальной реакции, величины продольного проскальзывания E x = U x R ( U x – продольная компонента скорости центра пятна контакта;

, R – угловая скорость осевого вращения и радиус колеса), угла увода и других динамических параметров (рис. В.2). Она представляет собой набор алгебраических уравнений, состоящих из комбинации нескольких тригонометрических функций и набора коэффициентов, определяющих характеристики контактной силы. Основной проблемой при использовании Magic Formula является необходимость экспериментального определения значений указанных коэффициентов в зависимости от типа пневматика и состояния дорожного покрытия. Несмотря на это, главными достоинствами Magic Formula являются ее высокая точность и простота использования, что позволяет с успехом применять ее при решении вычислительных задач динамики колесных транспортных средств как крупнейшим мировым производителям автомобильной резины, так и разработчикам автомобильных симуляторов. Magic Formula часто используется для решения различных прикладных задач, в том числе тех, где описывается движение автомобиля в процессе заноса.

В работе [73] предложен метод нахождения коэффициентов Magic Formula при наличии ограниченного объема измерений боковой компоненты контактной силы и момента сопротивления в пятне контакта колеса. Полученные коэффициенты позволяют построить полный спектр характеристик продольной и боковой компонент контактной силы, а также момента верчения в зависимости от нормальной реакции, продольного проскальзывания, углов увода и развала колес (угол развала – угол между плоскостью вращения колеса и вертикалью).

В [45] при помощи Magic Formula построена трехмерная диаграмма зависимости боковой компоненты контактной силы от угла бокового увода и продольного проскальзывания центра пятна контакта колеса. Полученная зависимость использована для оценки предельных значений боковой контактной силы при анализе движения автомобиля в различных режимах управляемого заноса. Показано, что для небольших по величине продольных проскальзываний допустимо использование линейной зависимости между боковой контактной силой и углом увода.

разработанная под руководством Пацейки, SWIFT-модель [67], представляет собой расширение Magic Formula, позволяющее описывать высокочастотные составляющие движения транспортного средства при перемещении по неровным поверхностям с малой протяженностью препятствий (от 20 см) и средней частотой наезда на них (до 60 Гц) при различных значениях проскальзывания колеса относительно дороги. Рассматривается модель колеса, в которой жесткий инерционный внешний обод соединен с основной частью колеса при помощи упругих и демпфирующих элементов. Касательные деформации колеса в области пятна контакта задаются в рамках «brush-модели» П. Фромма [68]: контур покрыт бесконечно малыми упругими безынерционными не взаимодействующими друг с другом элементами, так называемыми «щетинками», которые одним концом прикреплены к контуру колеса. При контакте с дорогой опорные концы «щетинок» взаимодействует с ней по закону Кулона. Для описания нелинейного характера зависимости контактной силы и момента верчения от величины проскальзывания центра пятна контакта колеса относительно дороги применяется Magic Formula.

В [72] Magic Formula и SWIFT-модель были уточнены за счет учета изменения давления в колесе. Достоверность полученных результатов подтверждена экспериментальными данными.

Большой объем экспериментальных данных для решения задач динамики колесных транспортных средств представлен в работах [53, 77]. Отчет [53] посвящен сравнительному анализу характеристик нескольких десятков типов колесных шин. Приводятся экспериментальные данные, полученные при изучении движения транспортных средств в повороте в режимах, близких к заносу, в процессе заноса, движения по поверхностям с различными характеристиками сцепления и проч. Определяются максимальные значения продольной и боковой компонент контактной силы, предельный тормозной момент, при котором колесо блокируется, максимальная величина контактной силы при фиксированном угле увода, тормозной путь.

В работе [77] приводятся данные о коэффициенте сопротивления качению.

Исследуется влияние на него качества поверхности, давления в шине, диаметра колеса, моментов разгона или торможения и проч. Получены также зависимости боковой жесткости шины от нормальной реакции, момента верчения от угла увода при различных значениях нормальных реакций, коэффициенты вертикальной жесткости и вертикального демпфирования пневматика, приводятся значения коэффициентов Magic Formula для различных типов шин.

Рассмотренные выше модели контактного взаимодействия колеса с опорной поверхностью можно разделить на две группы. К первой относятся модели, в которых предполагается, что колесо не теряет сцепления с опорной поверхностью, т.е. в пятне контакта присутствуют области, в которых поверхность колеса неподвижна относительно опорной поверхности (области сцепления). Данное обстоятельство запрещает использование этих моделей для описания режимов блокировки, пробуксовки и заноса, при которых колеса автомобиля скользят по дороге. Вторая группа моделей пригодна для описания указанных режимов движения, однако, в виду достаточной сложности, практически не допускает качественного исследования и численного исследования в реальном времени.

В диссертационной работе используется модель движения деформируемого колеса из [29, 31]. Указанная модель обобщает классические представления о нелинейных моделях увода и позволяет описывать как движение колеса без потери сцепления с абсолютно жесткой горизонтальной поверхностью (при этом указанная модель может быть сведена к классическим моделям Рокара, Келдыша, Фромма), так и движение в случае потери сцепления с поверхностью. (В последнем случае в пятне контакта отсутствуют области сцепления, т.е. колесо скользит относительно опорной поверхности.) В рамках указанной модели колесо считается телом вращения с осью вращения, параллельной опорной поверхности. В ненагруженном состоянии колесо имеет единственную точку контакта с этой опорной поверхностью. При нагружении колеса в окрестности точки контакта происходят радиальные деформации, и точка контакта становится центром симметричной площадки контакта, при этом основная часть внешнего контура колеса остается неизменной. Внешний контур колеса предполагается нерастяжимым в касательном направлении. Модель объединяет гипотезу Келдыша и гипотезу brush-модели Фромма.

Моделирование качения без потери сцепления с поверхностью проводится в предположении, что опорные концы всех «щетинок» пятна контакта неподвижны. Упругая контактная сила в этом случае прямо пропорциональна величине суммарной деформации «щетинок» и не превосходит силы кулонова трения трогания. Выражения для касательных компонент контактных сил учитывают так называемое явление «псевдоскольжения», связанное с тем, что при малых скоростях движения колес относительно опорной поверхности внутри пятна контакта последнее разделяется на зоны сцепления и микропроскальзывания, что влечет за собой уменьшение величины касательных составляющих контактных сил по сравнению с соответствующими максимальными значениями, когда имеет место скольжение пятна контакта. При моделировании скольжения пятна контакта предполагается, что опорные концы всех «щетинок» площадки контакта проскальзывают, контактная сила кулонова трения скольжения считается постоянной, не зависящей от скоростей точек контакта и равной силе кулонова трения трогания. В рамках указанной модели пренебрегают моментом верчения в пятне контакта.

Выражения для продольной и боковой компонент контактной силы могут быть записаны в виде y x Px = x N p ( ), Py = y N p (), (1.1) где x, y – коэффициенты кулонова трения скольжения в продольном и боковом направлениях относительно плоскости симметрии колеса;

N – нормальная реакция;

Uy Ux x = y =,, (1.2) R R – проскальзывания поверхностей колес относительно опорной поверхности в продольном и боковом направлениях, = 2 + 2 ;

U x, U y – проекции x y вектора скорости центра пятна контакта на продольное и боковое направления;

, R – угловая скорость осевого вращения и радиус колеса. Зависимость p(E ) в (1.1) определяется из эксперимента. На рис. В.3 показан типичный график этой зависимости, отвечающий рис. В.2. Величины E x, E y, отвечающие небольшим значениям относительных проскальзываний E 0,1, когда зависимость p(E ) близка к линейной, получили название псевдоскольжений. Как правило, график зависимости p(E ) на падающем участке близок к горизонтальной прямой.

Рис. В.3. Характеристика контактной силы Указанная модель позволяет описывать установившиеся движения автомобиля, движение автомобиля при переходе из режима чистого качения в режим слабого проскальзывания колес, а также движение в режиме заноса.

Достаточная простота модели дает возможность использовать ее для аналитических исследований и приближенного моделирования.

1.3. Четырехколесные модели автомобиля для различных режимов движения Как указывалось выше, под заносом автомобиля в литературе обычно понимают наличие бокового скольжения хотя бы одной из его осей. В работе [36] отмечено, что боковое скольжение оси возникает, когда контактная сила достигает своего предельного значения, равного силе трения трогания. Это может происходить в двух случаях: при воздействии на автомобиль достаточно больших боковых сил;

в ситуациях, когда продольные компоненты контактных сил велики, при этом для возникновения бокового скольжения оси достаточно относительно малых боковых сил. Возникновение первой ситуации наиболее вероятно при движении автомобиля с большим углом поворота передних колес и большой путевой скоростью, а также при движении по поверхности с большим углом бокового наклона;

вторая ситуация бокового скольжения оси автомобиля чаще всего возникает при интенсивном торможении или разгоне.

Как правило, бльшую угрозу для безопасности движения представляет боковое скольжение задней оси. Для оценки степени устойчивости движения оси автомобиля применяют различные критерии. Их многообразие обусловлено не только числом возможных комбинаций, в которых одно или несколько колес автомобиля теряют сцепление с дорогой, но и многообразием моделей контактного взаимодействия колеса с опорной поверхностью.

В [43] рассматриваются модели движения автомобиля с эластичными и, как частные случаи, с жесткими в одном или нескольких направлениях колесами под действием сил инерции, сил сопротивления качению и аэродинамических сил. Определяются зависимости продольных и боковых компонент контактных сил, действующих на колеса автомобиля, от параметров системы, при этом рассматриваются так называемые суммарные боковые реакции – суммы боковых компонент контактных сил, действующих на оба колеса каждой оси. Показано, что на суммарную боковую реакцию и, как следствие, на возможность входа автомобиля в занос, наибольшее влияние оказывают продольная скорость и угловое ускорение автомобиля, величина радиуса поворота, скорость поворота управляемых колес, различие между сопротивлениями качению внутренних (по отношению к повороту) и внешних колес, а также, в случае заднеприводного автомобиля, неравномерность распределения тяговой силы по ведущим колесам и величина тяговой силы.

В качестве критериев, характеризующих потерю устойчивости движения задней ведущей оси автомобиля, применяются: для автомобиля с жесткими колесами – начало пробуксовывания внутреннего колеса, начало бокового скольжения оси в случае пробуксовывания ее внутреннего колеса при движении в повороте или начало бокового скольжения оси без предварительного пробуксовывания ее внутреннего колеса;

для автомобиля с колесами, обладающими боковой эластичностью – начало пробуксовывания и бокового скольжения внутреннего колеса оси, начало бокового скольжения оси при наличии пробуксовывания и бокового скольжения внутреннего колеса.

Для количественной оценки устойчивости ведущей оси рассматривают соотношения между коэффициентами боковой устойчивости и тяговой (тормозной) силы или соотношения между величиной продольной скорости и радиусом поворота автомобиля. (Под коэффициентом боковой устойчивости понимается отношение суммарной боковой реакции оси к весу, приходящемуся на эту ось;

коэффициент тяговой (тормозной) силы определяется как отношение силы, создаваемой разгонным (тормозным) моментом, к весу автомобиля.) Для каждого из рассмотренных выше критериев потери устойчивости движения оси автомобиля находятся предельные значения указанных соотношений в зависимости от параметров системы, приводятся результаты численных расчетов для конкретных типов автомобилей. Рассматриваются способы управления, позволяющие прекратить начавшийся занос.

В работе [22] проводится определение реакций дорожной поверхности при неустановившемся движении автомобиля в повороте с постоянной путевой скоростью. Дорожная поверхность считается горизонтальной и шероховатой;

колеса – абсолютно жесткими и катящимися без проскальзывания. Для колес одной оси продольные и боковые компоненты контактных сил заменяются равнодействующими силами, нормальные компоненты контактных сил на всех колесах считаются одинаковыми и постоянными. Рассматривается кинематика движения переднее- и заднеприводного автомобиля, находятся зависимости контактных сил от геометрических параметров автомобиля, угла поворота управляемых колес, линейных и угловых скоростей и ускорений корпуса.

Показано, что значения контактных сил на входе в поворот превосходят соответствующие значения на выходе из поворота;

при линеаризации уравнений модели в случае движения с малым углом поворота передних колес теряются различия между моделями с передним и задним приводами;

при движении с большими углами поворота передних колес наибольшие боковые контактные силы действуют на автомобиль с задним приводом, поэтому на крутых поворотах и при недостаточном сцеплении колес с дорогой такой автомобиль в наибольшей степени подвержен боковым заносам;

при входе в поворот больший запас устойчивости против заноса имеет автомобиль с задним приводом, при выходе – с передним.

Большое число работ посвящено численному моделированию движения колесных систем. В [3] рассматривается движение колесных роботов с различной, в том числе и автомобильной, компоновкой колес. Используется алгоритмическая модель качения колеса, позволяющая одновременно описывать псевдоскольжение и полное проскальзывание (блокировка, пробуксовка, боковое скольжение). Для заданного закона управления, соответствующего (в неголономной постановке) движению робота по модельной гладкой траектории, состоящей из участков прямых и окружностей, проводится численное моделирование движения робота в режиме проскальзывания с различными коэффициентами сцепления колес с дорогой. Полученные экспериментальные траектории движения и графики изменения параметров системы сравниваются с модельными. Оцениваются постоянные времени переходных процессов между режимами движения с псевдоскольжением и полным проскальзыванием.

Работы [27, 33] посвящены математическому моделированию движения колесных мобильных роботов. Для построения моделей используется векторно матричный формализм неголономной механики. Исследуются свойства свободных движений трех- и четырехколесных мобильных роботов при различных управляющих воздействиях на переднюю ось: свободное движение по инерции, движение при наличии упругого и периодического моментов, приложенных к передней оси робота. Обсуждаются вопросы формирования алгоритмов управления, обеспечивающих реализацию программных движений.

В [58] рассматривается четырехколесная модель движения автомобиля.

Предполагается, что автомобиль является симметричным относительно продольной оси;

ширина передней и задней колеи совпадают;

путевая скорость постоянна по величине;

колеса одной оси имеют одинаковый угол увода;

в используемой нелинейной модели контактных сил отсутствует момент верчения;

влияние подвески и запаздывание в рулевом механизме пренебрежимо малы.

При помощи численного интегрирования уравнений в среде Matlab на примере автомобилей трех различных типов исследуется влияние геометрических и инерционных параметров конструкции автомобиля на устойчивость его движения. К исследуемым параметрам относятся распределение массы между передней и задней осями, масса автомобиля и его момент инерции относительно вертикальной оси, коэффициент устойчивости (отношение ширины колеи к удвоенной высоте центра масс). Влияние каждого из параметров рассматривается в рамках отдельной задачи, при этом исследуемый параметр является варьируемым, оставшиеся параметры считаются постоянными. Во всех задачах используются одинаковые начальные условия. Показано, что наибольшее влияние на характер движения оказывает распределение массы между передней и задней осями.

В статье [48] разрабатывается методика оценки безопасности движения автомобиля при прохождении стандартного теста на объезд препятствия при постоянной скорости движения. Предложен численный алгоритм нахождения безаварийного управления и максимально возможной скорости выполнения маневра: строится дерево состояний системы (вершиной дерева является начальное состояние системы);

далее, варьируя часть параметров, получают возможные состояния системы по истечении некоторого малого промежутка времени;

часть из этих состояний, не удовлетворяющих наложенным на систему ограничениям, отбрасывается (к отбрасываемым относятся, например, состояния, при которых автомобиль достигает края дороги или наезжает на препятствие), а оставшиеся состояния участвуют в следующей итерации. После достижения системой заранее заданного конечного состояния получают возможные траектории движения и соответствующие им безопасные управления.

Максимальной скоростью выполнения маневра считается скорость, при которой возможно выполнение маневра с использованием хотя бы одного из найденных управлений. Приводятся результаты численного эксперимента, полученные в среде Matlab/Simulink при помощи встроенной модели автомобиля 24-го порядка, в качестве варьируемого параметра выбирается угол поворота руля.

Получены зависимости максимальной скорости выполнения маневра от коэффициентов сцепления колес с дорогой и боковой жесткости колес.

Результаты испытаний, позволяющие оценить навыки управления автомобилем при прохождении стандартного теста на объезд препятствия с участием нескольких десятков водителей, можно найти в работе [71].

Большое проскальзывание колес автомобиля относительно дороги не всегда приводит к потере водителем контроля над управлением. Более того, управляемый занос является основным типом движения в некоторых классах автомобильных гонок, например, в так называемом дрифте (DRIFT), наиболее популярном в США и Японии (рис. В.4).

Рис. В.4. Прохождение поворота в режиме управляемого заноса Работа [45] посвящена экспериментальному моделированию управляемого заноса с применением двумерной (плоской) четырехколесной модели движения заднеприводного автомобиля. Находятся управления, обеспечивающие устойчивое движения автомобиля при сильном боковом заносе. Для оценки предельных значений контактных сил, при которых занос становится неуправляемым, используется один из частных случаев Magic Formula (см. раздел 1.2). На тестовый автомобиль устанавливаются гироскоп, набор акселерометров, датчики углов поворота управляемых колес и положения педалей, позволяющие получить поле векторов ускорений корпуса автомобиля.

После экспериментального заезда по информации от датчиков, обработанной при помощи нейронной сети, находят основные характеристики движения автомобиля: продольную и угловую скорости корпуса, его угловое ускорение, величину бокового увода и связь его с боковой компонентной контактной силы, – и получают управления, позволяющие максимально эффективно проходить поворот с заносом. Используемая в работе методика позволяет изучать влияние изменения конфигурации автомобиля на процесс заноса.

Отметим несколько работ, посвященных построению управлений с обратной связью. В работе [63] разрабатывается алгоритм робастного управления, способствующего предотвращению опрокидывания транспортного средства. Выделяют два вида опрокидывания: опрокидывание на ровной поверхности и опрокидывание при ударе о препятствие в процессе заноса.

Показано, что на возможность опрокидывания автомобиля в наибольшей степени влияют ширина колесной базы и высота центра масс, поэтому данная работа в большей степени актуальна для грузовых автомобилей. Для синтеза и анализа управления передними колесами и тормозными механизмами используется линейная модель транспортного средства. Построенное управление включает в себя три механизма обратной связи: линейное безаварийное управление рулем, аварийное управление рулем и аварийное управление тормозами. В безаварийном режиме угол и угловая скорость крена корпуса автомобиля замыкаются на управление углом поворота передних колес. Для аварийного режима вводится коэффициент опрокидывания, зависящий, главным образом, от бокового ускорения центра неподрессоренной массы транспортного средства.

При достижении им некоторого критического значения последовательно активизируются механизмы нелинейного управления рулем и тормозными устройствами. Для демонстрации работоспособности построенного алгоритма управления проводится численный эксперимент с использованием нелинейной модели движения автомобиля.

Работа [76] посвящена созданию алгоритма работы рулевого управления, позволяющего избежать опрокидывания, для автомобиля с высоким центром масс и управляемыми передними колесами на основе технологии steer-by-wire (см. раздел 1.1). Построен алгоритм работы контроллера, управляющего углом поворота передних колес на основе показаний датчика положения рулевого колеса, а также датчиков, позволяющих в реальном времени оценивать вектор состояния автомобиля. При безопасном движении управление автомобилем целиком осуществляется водителем, в случае возникновения потенциально опасной ситуации, критерием которой служит превышение коэффициентом опрокидывания некоторого критического значения, включается автоматическое управление, компенсирующее ошибочные действия водителя. На основе полученного алгоритма реализован автомобильный симулятор.

В работе [25] сформирована математическая модель движения колесного транспортного средства как нелинейной динамической системы высокого порядка с неопределенными параметрами. Модель образована уравнениями движения основных элементов: корпуса, неподрессоренных элементов, вращательного движения колеса с учетом высокочастотных колебаний пневматика, уравнениями движения двигателя. Проведена оценка касательных составляющих сил взаимодействия колес с опорной поверхностью. Указанная модель применялась для разработки алгоритмов работы антиблокировочной системы для колесных транспортных средств. Результаты работы были использованы на ряде отечественных предприятий и внедрены в автомобильной корпорации DAEWOO (Южная Корея). Указанная модель рассматривается в § 1.2 при определении области применимости модели автомобиля, используемой в настоящей диссертации.

Как было указано выше, изучение динамики движения колесных транспортных средств связано с анализом систем дифференциальных уравнений, содержащих как медленно, так и быстро изменяющиеся переменные. В связи с этим численные расчеты подобных систем в реальном времени представляют сложности. Для упрощения исследования часто используют [36] дополнительные допущения, начиная от пренебрежения рядом малых величин [28], например, углом поворота передних колес [43] при движении по близкой к прямолинейной траектории или слагаемыми, содержащими большие знаменатели [28], и заканчивая использованием линеаризованной по углам бокового увода и углу поворота передних управляемого колеса системы В [59, 63, 69, 75].

подавляющем большинстве работ подобные упрощения проводятся формально и не содержат математического обоснования их корректности и указаний на точность и пределы применимости приближенных моделей. Помимо этого для формирования качественных выводов авторы, нередко, ограничиваются лишь изучением стационарных состояний и исследованием их устойчивости в зависимости от различных параметров [69] или изучением частных случаев движения, таких, как движение с постоянной путевой скоростью или постоянным углом поворота управляемых колес [61].

Применение аппарата фракционного анализа [6, 29, 39] позволяет избежать недостатков указанных выше подходов: корректность построенных приближенных моделей получает строгое математическое обоснование, составляющие движения приближенных моделей развиваются на соизмеримых интервалах времени, что позволяет использовать их в реальном времени.

Примеры приближенного моделирования в задачах транспортной механики с использованием аппарата фракционного анализа можно найти в работах [7,9– 12, 29, 30, 32, 34].

§ 2. Аппарат фракционного анализа Фракционный анализ объединяет методы теории размерности и подобия и методы теории возмущений. Изложим подходы фракционного анализа [29], используемые в настоящей работе.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в форме Коши, описывающую движение исследуемой динамической системы:

dX = F1 (X1,K, X n, T, A1, A 2, K, B1, B 2,K), X1 T = 0 = X10, dT M (2.1) = Fn (X1,K, X n, T, A1, A 2,K, B1, B2,K), dX n = X n0.

Xn T = dT Здесь T – размерное время;

X1,…, X n – фазовые переменные;

F1,…, Fn – условные обозначения правых частей;

группы A1, A 2,K, B1, B2,K – коэффициентов одинаковой размерности. Предположим, что целью исследования является изучение некоторой совокупности свойств рассматриваемой системы. Будем считать, что уравнения (2.1) являются описательно избыточными по отношению к указанной совокупности свойств.

Зададим характерные значения T*, X1*,…, X n*, A*, B*,… всех постоянных и переменных величин из соответствующие поставленной цели (2.1), исследования. Характерное время T* определяется протяженностью интервала времени, на котором рассматривается движение системы. Характерные значения фазовых переменных обычно оцениваются максимальными значениями их абсолютных величин на рассматриваемом интервале времени:

X1* = max X1,…, X n* = max X n. Как правило, характерные значения фазовых T

T* переменных и времени связаны. За характерное значение коэффициентов одинаковой размерности принимается наибольшая из абсолютных величин этих <> <> коэффициентов: A* = max A j, B* = max B j,… Набор характерных значений j j определяет класс движения динамической системы, отвечающий исследуемой совокупности свойств.

Запишем уравнения (2.1) в новой системе размерностей, за единицы которой примем выбранные характерные величины. Этот прием называется нормализацией уравнений на рассматриваемом классе движения. Она проводится посредством замены всех входящих в величин их (2.1) безразмерными аналогами:

T X1 X A1 B t= x1 =, …, xn = n, a1 = b1 =,,…,,… (2.2) T* X1* X n* A* B* Положим B*,… равными характерным значениям T*, X1*,…, X n *, A*, соответствующих величин. Благодаря проведенной нормализации значения t, x1,…, x n, a1,…, b1,… не превосходят величин порядка единицы.

После подстановки (2.2) в (2.1) в правых частях каждого из уравнений могут быть выделены размерные множители определяющие F1*,…, Fn *, характерные значения этих правых частей. Деление на них приводит систему к виду = f1 (x1,K, x n, t, 1, 2,K), T1 dx x1 t = 0 = x10 = X10 X1*, T* dt M (2.3) = f n (x1,K, x n, t, 1, 2,K), Tn dx n = x n0 = Xn 0 X n*.

xn t = T* dt T1 = X1* F1*,…, Tn = X n* Fn*, Параметры имеющие размерность времени, называются парциальными постоянными времени системы по переменным X1,…, X n. Величина Tk (k = 1,K, n ) может служить оценкой интервала времени, в течение которого переменная X k изменяется на величину порядка своего характерного значения. Безразмерные параметры 1, 2,… выражаются через характерные значения из (2.2). Некоторые из параметров T1 T*,…, Tn T*, 1, 2,… могут оказаться малыми по сравнению с единицей. Они принимаются за малые параметры, соответствующие выбранному классу движения.

Составляющие движения транспортного средства обычно развиваются в сильно разнесенных временных масштабах. Рассмотрим возможные варианты упрощения системы (2.3).

Рассмотрим сначала ситуацию, когда фазовые переменные исходной системы могут быть разбиты на две группы, одна из которых объединяет «медленные» переменные, парциальные постоянные времени которых являются величинами порядка T1, вторая – «быстрые» переменные с парциальными постоянными времени порядка T2 T1. Предположим также, что действующие на систему внешние силы изменяются «медленно», на характерных временах T T1. Обозначим через или и векторы, образованные, y z T

T соответственно, «медленными» и «быстрыми» переменными, через Y и Z – соответствующие векторы правых частей. Изучая движение системы на больших временах T

T1, положим T* = T1. Будем считать, что зависимости правых частей системы (2.3) от своих аргументов таковы, что после проведенных преобразований эта система может быть записана в виде = Y(y, z, t, µ ), dy y (0, µ ) = y 0, (2.4) dt = Z(y, z, t, µ ), z (0, µ ) = z 0, dz µ dt где µ = T2 T1 1 – малый параметр.

Система дифференциальных уравнений, содержащая малый параметр при производных, называется сингулярно возмущенной по этому малому параметру.

Наиболее полное исследование систем вида (2.4), а также систем с иерархией малых параметров, о которых будет упомянуто далее, дано в работах научной школы, основанной академиком А.Н. Тихоновым [5, 6, 39]. Поэтому система (2.4) получила называние системы тихоновского вида. Положив в (2.4) µ = 0 и опустив z 0, получим невозмущенную, так называемую вырожденную по Тихонову систему = Y ( y, z, t,0 ), y (0 ) = y 0, dy (2.5) dt 0 = Z(y, z, t,0 ).

Видно, что система (2.5) проще исходной системы (2.4), т.к. второе дифференциальное уравнение из (2.4) при µ = 0 переходит в конечное соотношение. А.Н. Тихоновым были сформулированы достаточные условия [39], при выполнении которых решение y (t, µ ), z (t, µ ) системы (2.4) существует, единственно на отрезке 0 t t и удовлетворяет предельным равенствам lim y (t, µ ) = y (t ) при 0 t t, µ lim z (t, µ ) = z (t ) при 0 t t.

µ А.Б. Васильевой доказана теорема, позволяющая провести оценку погрешности вырожденной системы (2.5). Приведем ее формулировку [5, 6].

Теорема 1 (Васильева). Пусть выполнены условия:

I. Функции Y (y,z, t, µ ), Z(y, z, t, µ ) при 0 µ µ 0 аналитичны в области < >G = y a, z b, 0 t t / ;

II. Конечное уравнение 0 = Z(y, z, t,0 ) вырожденной системы (2.5) имеет в < >области D = y a, 0 t t / изолированный, непрерывный корень z = (y, t ), для которого z b, а дифференциальное уравнение вырожденной системы, отвечающее этому корню = Y(y, (y, t ), t,0 ), dy y (0 ) = y dt – единственное решение при 0 t t /, удовлетворяющее условию y a ;

= (y, t ) присоединенной системы z d

, t,0 ), z z (2.6) d в которой y, t рассматриваются как постоянные параметры из G, = t µ – «быстрое» время, асимптотически устойчива по первому приближению;

() присоединенной системы (2.6), отвечающее начальному z условию

(0 ) = z 0 и значениям параметров y = y 0, t = z d

(0 ) = z z z z d существует, не выходит из области

b при 0 и стремится к точке z покоя

= (y 0,0 ) при. (В таком случае говорят, что начальное условие z z 0 принадлежит области влияния точки покоя присоединенной системы.) Тогда найдется константа 0 µ / µ0, такая, что при 0 µ µ / справедливы оценки y (t, µ ) y (t ) = O(µ), 0 t t/, (2.7) z (t, µ ) z (t ) = O(µ), 0 t t/.

Из (2.7) следует, что при выполнении условий теоремы 1 вырожденная система (2.5) может трактоваться как приближенная математическая модель исходной системы (2.4) на конечном интервале времени 0 t t /. Этот интервал не содержит начальную точку t = 0, поскольку, в общем случае, начальное условие z (0, µ ) = z 0 не лежит на гиперповерхности, задаваемой уравнением 0 = Z(y, z, t,0 ). Интервал времени, на котором вторая из оценок (2.7) не имеет места, имеет ширину O(µ ln µ) [5]. Этот интервал называется пограничным слоем.

Рассмотрим теперь общий случай, когда составляющие движения системы (m + 1) n (2.3) развиваются в временных масштабах, причем имеет место следующая иерархия парциальных постоянных времени: Tm +1 Tm K T1.

Как и ранее обозначим через y вектор «медленных» фазовых переменных, соответствующих характерному времени T1 ;

через z1, …, z m – векторы «быстрых» фазовых переменных, отвечающих парциальным постоянным времени T2, …, Tm +1.

Исследуя «медленные» составляющие движения динамической системы, положим T* = T1. По аналогии с предыдущим случаем предположим, что после проведенных преобразований система (2.3) может быть записана в виде = Y(y, z1,K, z m, t, µ1, µ 2,K, µ m ), dy y t =0 = y 0, dt = Z1 (y, z1,K, z m, t, µ1, µ 2,K, µ m ), dz z 1 t =0 = z 1,0, µ dt M (2.8) = Zm (y, z1,K, z m, t, µ1, µ 2,K, µ m ), dz m = z m,0, µ1µ 2Kµ m zm t = dt где µ j = Tj+1 Tj 1 ( j = 1,2. m ) – малые параметры.

Предельный переход µ j 0 к вырожденной по всем малым параметрам системе рассматривался в работе [39]. Приведем формулировку теоремы [6], позволяющей провести оценку погрешности вырожденной системы. Как и в [6], для простоты изложения остановимся на случае двух малых параметров.

Система (2.8) примет вид = Y (y, z1, z 2, t, µ1, µ 2 ), y (0, µ1, µ 2 ) = y 0, dy dt z 1 (0, µ1, µ 2 ) = z 1,0, = Z1 (y, z1, z 2, t, µ1, µ 2 ), dz µ1 (2.9) dt z 2 (0, µ1, µ 2 ) = z 2,0, = Z 2 (y, z1, z 2, t, µ1, µ 2 ), dz µ1µ dt 0 µ1 1, 0 µ 2 1.

Проведем последовательное вырождение системы (2.9) по малым µ2 = 0, параметрам. Положив получим так называемую однократно вырожденную систему, отвечающую игнорированию скорости изменения самой «быстрой» переменной z 2 по сравнению со скоростями остальных переменных:

= Y(y, z1, z 2, t, µ1,0 ), y (0, µ1 ) = y 0, dy dt z 1 (0, µ1 ) = z 1,0, = Z1 (y, z1, z 2, t, µ1,0 ), dz µ1 (2.10) dt 0 = Z 2 (y, z1, z 2, t, µ1,0 ).

Пусть z 2 = 2 (y, z1, t, µ1 ) (2.11) – корень конечного уравнения из (2.10). Подстановка (2.11) в первые два уравнения из (2.10) дает дифференциальные уравнения, отвечающие указанному корню:

= Y(y, z1, 2, t, µ1,0 ), y (0 ) = y 0, dy dt z1 (0) = z1,0, = Z1 (y, z1, 2, t, µ1,0 ), d z µ1 (2.12) dt 2 = 2 (y, z 1, t, µ1 ), z2 = 2, 0 µ1 1.

Приняв в (2.12) µ1 = 0, получим систему = Y (y, z1, 2, t,0,0 ), y (0 ) = y 0, dy dt 0 = Z1 (y, z1, 2, t,0,0 ), (2.13) 2 = 2 (y, z 1, t,0 ), z2 = 2, называемую двукратно вырожденной. Обозначим через z1 = 1 (y, t ) (2.14) корень второго, конечного, уравнения из (2.13). Подставив (2.14) в (2.13), имеем = Y(y, 1, 2, t,0,0 ), y (0 ) = y 0, dy dt 1 = 1 (y, t ), 2 = 2 (y, 1, t,0 ), z1 = 1, z2 = 2.

Теорема 2 (Васильева). При выполнении условий теоремы 1 для каждого из последовательных вырождений (2.10), (2.13) найдутся константы µ1 0, / µ 2 0 такие, что при 0 µ1 µ1, 0 µ 2 µ 2 решение y (t, µ1, µ 2 ), z j (t, µ1, µ 2 ) / / / ( j = 1,2) системы (2.9) существует, единственно и удовлетворяет оценкам y (t, µ1, µ 2 ) y (t ) = O(µ1 + µ 2 ) при 0 t t /, z j (t, µ1, µ 2 ) z j (t ) = O(µ1 + µ 2 ) при 0 t t /.

Аналогично, решение m-кратно вырожденной системы, получающейся из (2.8) при µ1 = µ 2 = K = µ m = 0, при выполнении условий теоремы 1 для каждого из последовательных вырождений имеет при 0 t t / погрешность O(µ1 + µ 2 + K + µ m ). (2.15) Из (2.15) следует, что при выполнении условий теоремы 2 m-кратно вырожденную систему можно рассматривать как приближенную математическую модель исходной системы (2.8) на конечном интервале времени 0 t t/.

Как следует из формулировок теорем 1 и 2, оценки точности приближенных моделей справедливы при стремлении малых параметров к нулю.

Для фиксированных значений малых параметров, используемых при построении математических моделей механических систем, погрешности приближенных моделей следует проконтролировать численно. Исследование конкретных задач, проведенное в работах [9, 10, 12, 29, 32] и настоящей диссертационной работе, показывает, что асимптотические оценки остаются справедливыми и при весьма «больших» значениях малых параметров.

Заметим, что в большинстве случаев «быстрые» переменные задачи не совпадают с ее фазовыми переменными. Для приведения задачи к возмущенному по малым параметрам виду требуется замена исходного набора фазовых переменных новым набором, включающим эти «быстрые» переменные.

Алгоритмы отыскания «быстрых» переменных для различных транспортных, гироскопических, робототехнических, авиакосмических, биомеханических и проч. задач прикладной механики изложены в [9–13, 29]. Исследование, проведенное в диссертационной работе, развивает подходы фракционного анализа в задачах колесного транспорта. В настоящей работе сформирован алгоритм одновременного введения в уравнения движения иерархической структуры малых параметров.

Глава 1. Постановка задачи. Оценка области применимости «велосипедной» модели § 1.1. Описание исследуемой системы и постановка задачи Рассмотрим автомобиль, движущийся по горизонтальной, однородной, шероховатой плоской поверхности (дороге). Для описания его движения будем использовать «велосипедную» модель, в рамках которой два передних колеса заменяются одним эквивалентным передним колесом, два задних – одним задним (см. § 1 Введения). Переднее колесо является управляемым и связано с корпусом через механизм рулевого управления, ось вращения заднего колеса фиксирована в корпусе. Будем предполагать, что корпус и колеса модели являются абсолютно жесткими, и она не имеет боковых наклонов.

«Велосипедная» модель часто используется для описания движений автомобиля, при которых можно пренебречь различиями между характеристиками сцепления правых и левых колес одной оси с дорогой.

Свяжем с опорной плоскостью неподвижный трехгранник O 0 x 0 y 0 z 0, с корпусом – трехгранники Сxyz и С b x b y b z b, с механизмом рулевого управления – трехгранник С w x w y w z w, с колесами модели – трехгранники A1x 1y1z1 и A 2 x 2 y 2 z 2. Здесь C – центр масс системы в целом, C b – центр масс корпуса;

C w – центр масс механизма рулевого управления, точки A1 и A 2 лежат на пересечении продольных плоскостей симметрии переднего и заднего колес с их осями вращения;

оси O 0 z 0, Сz, С b z b, С w z w A1z1, A 2 z 2 ориентированы по вертикали;

оси Сx, С b x b, С w x w, A1x1, A 2 x 2 лежат в плоскостях продольной симметрии корпуса и колес соответственно и направлены вперед по ходу движения (рис. 1.1).

z zb zw D x C Cw xw xb Cb z2 z x2 x A A y x1 x y A y C y x A x O Рис. 1.1. «Велосипедная» модель автомобиля [45, 78] Зададим положение корпуса модели координатами X b, Yb его центра масс в системе координат O 0 x 0 y 0 z 0, углом поворота корпуса, углами 1, поворота колес вокруг осей A1 y1, A 2 y 2 и углом поворота переднего колеса относительно корпуса вокруг оси A1z1. Для автомобиля величина не превышает 0,5 рад.

Составим уравнения движения из уравнений изменения количества движения и кинетического момента корпуса автомобиля, механизма рулевого управления и колес относительно их центров масс в проекциях на оси трехгранников Сxyz, С w x w y w z w, A1x 1y1z1 и A 2 x 2 y 2 z 2 соответственно и кинематических соотношений:

d2X b d 2 Yb Mb sin = R xw R x 2 + Fx, cos + dT 2 dT d2X b d 2 Yb cos = R yw R y 2 + Fy, sin + Mb dT 2 dT 0 = R zw R z 2 M b g, 0 = M xw M x 2 + R yw (H w H b ) + R y 2 (R H b ), 0 = M yw M y 2 R xw (H w H b ) + R zw A R x 2 (R H b ) + R z 2 B, d z = M M z 2 R yw A + R y 2 B + M z, I zb dT d 2 (X b + A cos ) d 2 (Yb + A sin ) cos( + ) + sin ( + ) = mw dT 2 dT = R xw cos + R yw sin R x1, d 2 (X b + A cos ) d 2 (Yb + A sin ) sin ( + ) + cos( + ) = mw dT 2 dT = R xw sin + R yw cos R y1, 0 = R zw R z1 m w g, ( )( 0 = M xw cos + M yw sin M x1 R xw sin + R yw cos H d H w ) + + R y1 (R H w ), ( )( 0 = M xw sin + M yw cos M y1 + R xw cos + R yw sin H d H w ) R x1 (R H w ), d z d + = M M z1, I zw dT dT d 2 (X b + A cos ) d 2 (Yb + A sin ) cos( + ) + sin ( + ) = m dT 2 dT = R x1 + Px1, d 2 (X b + A cos ) d 2 (Yb + A sin ) sin ( + ) + cos( + ) = m dT 2 dT = R y1 + Py1, I1 ( z + ) = M x1 + Py1R, 0 = R z1 + N1 mg, (1.1.1) d1 d z d = L1 Px1R, + = M z1, I z I dT dT dT d 2 (X b B cos ) d 2 (Yb B sin ) m sin = R x 2 + Px 2, cos + dT 2 dT d 2 (X b B cos ) d 2 (Yb B sin ) cos = R y 2 + Py 2, sin + m dT 2 dT d I 2 z = M x 2 + Py 2 R, 0 = R z 2 + N 2 mg, = L 2 Px 2 R, I dT d z d d = M z2, = z, =.

I z dT dT dT Здесь T – размерное время;

z – вертикальная составляющая угловой скорости корпуса;

1 = d1 dT, 2 = d 2 dT – угловые скорости вращения колес вокруг осей A1y1, A 2 y 2 ;

– угловая скорость вращения переднего колеса относительно корпуса вокруг оси A1z1 ;

I zb = M b 2 – момент инерции корпуса zb zb автомобиля относительно оси масса корпуса и Cbz b ;

Mb, – соответствующий радиус инерции;

I zw = m w 2 – момент инерции механизма zw рулевого управления относительно оси C w z w ;

m w, zw – его масса и соответствующий радиус инерции;

I = m 2, I z12 = m 212 – моменты инерции z колес относительно оси вращения и вертикальной оси;

m,, z12 – масса колеса и соответствующие радиусы инерции;

A, B – расстояния от центра масс корпуса до передней и задней осей соответственно;

H b – высота центра масс корпуса над опорной плоскостью;

H w – высота центра масс механизма рулевого управления над опорной плоскостью;

H d – высота точки D крепления механизма рулевого управления к корпусу автомобиля;

R xw, R yw, R zw, M xw, M yw, M = M zw – проекции на оси трехгранника С w x w y w z w сил и моментов, приложенных к механизму рулевого управления со стороны корпуса;

R xj, R yj, R zj, M xj, L j = M yj, M zj – проекции на оси трехгранников A jx j y jz j сил ( j = 1) ( j = 2) и моментов, приложенных к переднему и заднему колесам со стороны механизма рулевого управления и корпуса, соответственно;

Pxj, Pyj, N j – соответственно, проекции на оси трехгранников A jx j y jz j касательных и нормальных составляющих контактных сил взаимодействия j-го колеса с ( j = 1,2) ;

опорной плоскостью Fx, Fy, M z – соответствующие проекции возмущающих сил и моментов, действующих на корпус автомобиля;

g – ускорение свободного падения. Координаты 1, 2 являются циклическими и в уравнения (1.1.1) не входят. Величины L1, L 2 и M рассматриваются в качестве управлений. Современные автомобили проектируются таким образом, что 2 AB, H A + B [34, 43]. Для большинства автомобилей отношение массы z колеса к массе автомобиля M мало: µ = m / M изменяется в диапазоне от величин порядка 10 2 (легковые и грузовые автомобили) до величин порядка 10 1 (спортивные автомобили).

Выразим массу и координат центра масс корпуса автомобиля через массы и координат центров масс автомобиля в целом, механизма рулевого управления и колес:

M b = M m w 2m, MX ((m w + m )A mB ) cos Xb =, M MY ((m w + m )A mB ) sin Yb =, (1.1.2) M MH m w H w 2mR Hb =.

M Здесь X, Y, H – координаты центра масс автомобиля в системе координат O0 x 0 y0z 0.

Исключим из системы (1.1.1) неизвестные реакции связей R xw, R yw, R zw, M xw, M yw, R xj, R yj, R zj, M xj, M zj ( j = 1,2 ). В соответствии с предположением об отсутствии у рассматриваемой модели боковых наклонов, опустим четвертое уравнение системы (1.1.1). С учетом выражений (1.1.2) система (1.1.1) примет вид dVx = Px1 cos Py1 sin + Px 2 + MVy z + Fx, M dT dVy = Px1 sin + Py1 cos + Py 2 MVx z + Fy, M dT 0 = N1 + N 2 Mg, (1.1.3) ( ) 0 = AN1 + BN 2 Px1 cos Py1 sin + Px 2 H ( Px1R + L1 ) cos ( ) ( Px 2 R + L 2 ) + I1 ( z + )sin + m w A g + 2 (H w H ) + z ( ), + m(A B) g + 2 (R H ) z ( ) m m I zb + I z12 w + (M M w m )A 2 2mAB + M M d z ( ) + (M m )B m = Px1 sin + Py1 cos dT M m m A w + (A B) + Py 2 B w + (A B) + M z M, m m M M M M d1 d = Px1R + L1, = Px 2 R + L 2, I I dT dT d d z d d = M I z1 = z, =, I z1, dT dT dT dT dX dY = Vx cos Vy sin, = Vx sin + Vy cos.

dT dT Здесь Vx, Vy – проекции вектора скорости автомобиля на оси Cx и Cy ;

I z1 = I zw + I z12 – суммарный момент инерции механизма рулевого управления и переднего колеса относительно оси A1z1.

Выражения для нормальных составляющих контактных сил N1, N определяются из третьего и четвертого уравнений системы (1.1.3):

( ( ) N1 = MgB Px1 cos Py1 sin + Px 2 H ( Px1R + L1 ) cos A+B ( ) ( Px 2 R + L 2 ) + I1 ( z + ) sin + m w A g + 2 (H w H ) + z ( )), + m(A B) g + 2 (R H ) z N 2 = Mg N1. (1.1.4) Далее рассматриваются движения, для которых N1, N 2 0, т.е. колеса не отрываются от дороги.

Выражения для касательных составляющих контактных сил зададим соотношениями вида (1.1), (1.2), учитывающими явление псевдоскольжения:

xj yj ( j = 1,2), Pxj = xjN j p ( j ), Pyj = yj N j p ( j ) (1.1.5) j j где xj, yj – коэффициенты кулонова трения скольжения в продольном и боковом направлениях относительно плоскостей симметрии колес;

U xj U yj ( j = 1,2) xj = yj =, (1.1.6) jR jR – относительные проскальзывания контактирующих поверхностей колес и опорной поверхности в продольном и боковом направлениях, j = 2 + 2 ;

xj yj U x1 = Vx cos + (Vy + z A )sin 1R, U y1 = Vx sin + (Vy + z A )cos, (1.1.7) U y 2 = Vy z B U x 2 = Vx 2 R, – проекции скоростей точек контакта колес на оси A j x j, A j y j трехгранников A j x j y jz j ( j = 1,2 ).

Как и в [31–34], примем для зависимости p( j ) из (1.1.5) кусочно линейную аппроксимацию (рис. 1.2). Для автомобильных колес ширина линейной зоны, отвечающей режиму псевдоскольжения, 0,1. За пределами указанной зоны касательная составляющая контактной силы достигает своего предельного значения и становится равной кулоновой силе трения скольжения.

Рис. 1.2. Кусочно-линейная аппроксимация характеристики контактной силы Если при движении j-го колеса справедливо неравенство j, (1.1.8) () т.е. аргумент j остается в линейной зоне характеристики p j, то будем говорить, что колесо не теряет сцепления с дорогой. Если неравенство (1.1.8) нарушается:

j, (1.1.9) () т.е. аргумент j выходит за пределы линейной зоны характеристики p j, то будем говорить, что колесо теряет сцепление с дорогой.

Пренебрежем моментом верчения, возникающим в пятне контакта при повороте колеса относительно вертикальной оси.

Уравнения (1.1.3), (1.1.5)–(1.1.7) образуют замкнутую систему. Для того чтобы однозначно определить движение автомобиля, необходимо задать начальные условия, возмущения Fx, Fy, M z и управления L1, L 2, M.

Рассматривая движение автомобиля без потери сцепления колес с дорогой, будем предполагать, что начальные условия, возмущения и управления обеспечивают выполнение неравенств (1.1.8) для j = 1,2. Согласно (1.1.5), необходимыми и достаточными условиями реализации такого режима будут 2 Px1 Py1 Px 2 Py 2 N + N 1, N + N 1.

(1.1.10) x1 1 y1 1 x 2 2 y2 Из (1.1.5) следует, что при начальных условиях, возмущениях и управлениях, обеспечивающих выполнение неравенства (1.1.9), контактная сила достигает своего предельного значения. Следовательно, соответствующее выбранному номеру j неравенство (1.1.10) переходит в равенство:

2 Pxj Pyj + = 1. (1.1.11) xjN j yj N j В работах [12, 32] уравнения (1.1.3) составлялись в пренебрежении (Px1R L1 ) cos, I1 ( z + )sin, Px 2 R L 2, слагаемыми ( ) ( ) m w A g + 2 (H w H ) + m(A B) g + 2 (R H ), (1 M )(m w A + m(A B)) z z (Px1 sin + Py1 cos + Py 2 ), M в правых частях четвертого и пятого уравнений, множитель перед d z dT в пятом уравнении заменялся моментом I z = M z инерции автомобиля относительно оси Cz (здесь z – соответствующий радиус инерции). Указанные отличия возникают, если пренебречь соответствующими проекциями векторов кинетических моментов колес автомобиля на оси A1y1, A 2 y 2 и A1z1, считая, что они уравновешивают друг друга в четвертом и пятом уравнениях системы Обсудим корректность пренебрежений, (1.1.3).

Источник