Гостиница Гильберта. Ответ
Эту задачу предложил немецкий математик Давид Гильберт где то в третьем десятилетии 20 века. Давид был одним из величайших умов своего времени. Среди большого числа его учеников, которые в последствии стали видными учеными, был Джон Фон Нейман. Он так же консультировал Эйнштейна при разработке тензорного анализа — фундамента теории относительности.
Один гость
Напомню вам условие задачи для одного гостя из предыдущей статьи:
Представьте себе гостиницу с бесконечным числом комнат. Комнаты пронумерованы натуральными числами, от 1 до ∞. В один прекрасный день в нашу гостиницу вошел человек и попросил снять комнату. К сожалению, для нашего гостя не нашлось комнаты, так как именно в этот день отель был полностью заполнен бесконечным числом гостей. Выгнать гостя? Или все же есть возможность предоставить ему свободную комнату не выселяя никого из постояльцев?
Бесконечное число гостей
Если вы смогли найти комнату для одного гостя значит вы замечательный администратор. Но всегда есть простор для улучшения ваших навыков. Представьте что в полностью заполненный бесконечный отель приехало бесконечное число гостей. Как бы вы поселили бесконечное число гостей, при этом не выселяя никого из бесконечного числа постояльцев?
Четное число — целое число, которое делится без остатка на 2.
Этот парадокс хорош тем, что он отлично показывает странные, но вполне логичные свойства бесконечности в простых и понятных сущностях. Посмотрите так же этот интересный ролик:
Парадоксы бесконечности: Отель Гильберта
Отель Гильберта
Отель Гильберта – воображаемое здание, в котором имеется бесконечное количество комнат. Управляющий отелем гордится тем, что никогда не отказал ни одному гостю. А теперь представьте себе: поздним вечером, когда все номера отеля заняты, внезапно появляется новый гость.
Портье идет к управляющему и сообщает ему, что гостя некуда поселить. Управляющий говорит, что надо попросить всех жильцов переселиться в номер по соседству, так что гость из первого номера переселяется во второй, гость из второго – в третий и так далее. После этого первая комната освободится, и туда можно будет поселить нового гостя.
Однако в полночь портье снова прибегает к управляющему. На этот раз он просто в отчаянии. Только что для участия в симпозиуме прибыло бесконечное количество математиков. «Мы же не сможем поселить их всех!» – восклицает портье. Подумав немного, управляющий предлагает следующее: «Нам придется попросить наших гостей о еще одном одолжении. Пусть каждый умножит номер своей комнаты на два и переселится в комнату с полученным номером». Таким образом, гость из четвертого номера переселяется в комнату 8, гость из комнаты 23 – в комнату 46, гость из комнаты 352 – в комнату 704 и так далее. После этого все комнаты с нечетными номерами освободятся. В них и поселятся участники симпозиума.
Этот прекрасный пример, показывающий красоту бесконечности популяризировал Джордж Гамов в своей научно-популярной книге 1947 года “Один два три … Бесконечность: Факты и Размышления о Науке” (George Gamow. One Two Three…Infinity: Facts and Speculations of Science).
Для тех кому интересно почитать о развитии идеи Отеля Гильберта я советую статью Аны Риты Пирес “Гостеприимство в отеле Гильберт. Насколько велика бесконечность?” (Ana Rita Pires “Hospitality at the Hilbert Hotel. How big is infinity?”). В этой статье Ана Пирес рассуждает о том, как разместятся гости, если они приехали на 99 автобусах с бесконечным числом мест, а также если приехало бесконечно число автобусов с бесконечным числом пассажиров. И даже еще сильнее развивает эту мысль, рассуждая о многомерном бесконечно пространстве.
Petruchek.Info
Бесконечный отель
В отеле «Infinity» проходит межгалактический слёт гуманоидов и негуманоидов.
Все номера заняты (т.е. в каждом номере есть постоялец).
Нельзя селить в один номер нескольких постояльцев. Постояльцев можно переселять, сообщив переселяемому его новый номер.
Однако по сути расселение в бесконечное количество комнат ничем не отличается от этого круга.
Т.к. все комнаты заняты, а рассление дополнительных желающих заключается в переселении людей в другие комнаты, в которых уже кто-то живет и тоже вынужден переселяться.
Не надо выдумывать того, что не указано в условии задачи: прибавляются только гости, комнат сколько и было, столько и осталось.
Время здесь ни при чём.
Смысл задачи — в иллюстрации ответа на вопросы:
1) каких чисел больше: натуральных, больших двух (3,4,5. ) или всех натуральных (1,2,3. )?
2) каких чисел больше: натуральных (1,2,3. ) или чётных натуральных (2,4,6. )?
Отдельно можно подумать над тем, каких чисел больше: натуральных (1,2,3) или действительных на отрезке [0,1].
Ну, если интересно почитать, то ключевые слова — «счётность множеств», «континуум».
Вкратце: натуральных чисел столько же, сколько чётных, и столько же, сколько нечётных. «Является подмножеством» в данном случае не является критерием. Рациональных чисел (это те, которые представимы в виде дроби вида p/q) столько же, сколько и натуральных.
Если элементы какого-либо бесконечного множества можно «занумеровать», или «посчитать», то этих элементов столько же, сколько и натуральных чисел.
А вот действительных чисел на отрезке [0,1] больше, чем всех натуральных.
Эти вопросы изучаются в математическом анализе, там интересно.
Парадокс «Гранд-отель»
ПРОЛОГ
«Хочешь поиграть в пазлы?» — спросила мама своего 8-летнего ребёнка. «Конечно, мамочка!» — ответило дитя.
Все мы любим головоломки. И забавно, что эта любовь не имеет возрастных границ. С возрастом мы так же любим поломать голову над какой-нибудь сложной загадкой, а когда наконец приходим к её отгадке, хочется прыгать от радости и поделиться ею со всем миром. Эта статья посвящена головоломке, основанной на математическом парадоксе.
«И сказал Бог: да будет свет. И стал свет». (Третий стих книги Бытия)
ВОТ ТАКАЯ ГОЛОВОЛОМКА
В чём суть этого парадокса «Гранд-отель»?
Предположим, что на планете Титан есть отель со счётным бесконечным множеством номеров, начиная от первого и до бесконечности. Счётное множество является бесконечным, если оно имеет взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами, такими как 1, 2, 3 и так далее до бесконечности.Этот отель известен на всю Вселенную. Каждый вечер в нём останавливается бесчисленное количество людей. И вот однажды отель оказался заполнен постояльцами. Теперь управляющий отеля ломает голову над тем, где разместить будущих посетителей.
Так сложно и в то же время так просто O(FINITE)
Тут открылись главные ворота.Управляющий поднял взгляд и застыл в изумлении.За всю свою жизнь он не видел такой очаровательной и ослепительной дамы.Она подошла к стойке администратора и сказала: «Монсеньор, меня зовут Мяяяу.Я — представитель планеты Р-616 из Шелковистой Галактики.Ваш отель знаменит на всю Вселенную, поэтому я решила остаться здесь на ночь.Не могли бы Вы выдать мне ключ-карту от моего номера?».
Так как это бесконечный отель, в нём всегда остаётся ещё один номер для заселения. Но управляющий не может предоставить ей любой номер, так как все гостиничные номера (не только 1-й, 2-й, 3-й, но и, скажем, 1284742018764398976755836-й) уже заняты. Так неужели заселить её в отель не получится? Было бы обидно отказать такой красотке 😉 Ну, конечно же, управляющий найдёт ей номер. А теперь оторвитесь от чтения, сделайте паузу и немного подумайте.
Предположим, мы попросим её занять первый номер. Но он ведь уже занят, верно? Куда девать его постояльца? Мы попросим его переселиться во второй номер, а постояльца второго номера — в третий и так далее. Таким образом, все постояльцы переселяются каждый в следующий, соседний номер. То есть в общем случае постоялец из номера N переселится в номер (N + 1). Но отель ведь бесконечный и всегда остаётся ещё один номер, поэтому ни у кого проблем с заселением не возникнет.
Следовательно, применяя такую логику перемещения постояльцев из одного номера в другой, можно для любого конечного числа прибывающих посетителей отеля найти номера для заселения. Если в отель прибыли M посетителей, то первые M номеров можно освободить, переселив каждого постояльца из номера N в номер (N + M). В таком случае эти М освободившихся номеров смогут занять M вновь прибывших посетителей.
На один уровень сложнее O(INFINITE)
Мяяяу очень понравилось её пребывание в бесконечном отеле.Два месяца спустя, в рождественский сочельник, она появилась снова, но уже не одна, а со всеми жителями своей планеты, прилетев на специальном звездолёте!И все они хотят остановиться в этом бесконечном отеле.Но самое интересное: число жителей её планеты Р-616 не является конечным.Оно бесконечно.
Здесь логика перемещения (N + бесконечность) не применима. Но в таком случае каково же будет решение?
Давайте не складывать, а умножать. На 2. Постоялец первого номера переместится во второй номер, постоялец второго — в четвёртый, третьего — в шестой. В общем случае постоялец номера N переместится в номер (2 * N). Заметили закономерность? Все чётные номера заселяются теми, кто уже являются постояльцами отеля, а все нечётные номера освобождаются для вновь прибывающих. И таким образом, все нечётные номера (число которых бесконечно) могут быть заняты новыми, вновь прибывшими посетителями, число которых также бесконечно.
Преодолевая все ограничения O(INFINITE of INFINITE)
Всем жителям планеты Р-616 очень понравилось их пребывание в бесконечном отеле.Они стали публиковать в соцсетях фото и видео, которые мгновенно становились вирусными. Больше месяца хештег #stay_at_infinite_hotel был № 1 по популярности в твиттере.В отель прилетало всё больше и больше народу.И если вы думаете, что теперь никаких проблем возникнуть не может, то вы ошибаетесь.
На межвселенских галактических переговорах был принят закон, согласно которому все жители всех планет в назначенную дату одновременно должны заселиться в этот отель.Чтобы вы понимали: количество этих планет бесконечно, и число жителей каждой из них бесконечно,и все хотят остановиться в отеле одновременно.Как же их всех разместить?
Мы не можем здесь проделать предыдущий трюк: нечётно-чётная стратегия применима лишь в случае одной планеты с бесконечным числом жителей. А как быть с другими планетами? Подумайте немного об этом, прежде чем идти дальше. Ну хорошо, дам подсказку: согласно теореме Евклида существует бесконечно много простых чисел.
Итак, давайте возьмём первое простое число 2. Теперь переместим постояльцев в их новые номера. Для этого число 2 возводим в степень, соответствующую занимаемому ими номеру. Так постоялец первого номера переместится в номер 2¹. Постоялец второго номера переместится в номер 2². Постоялец третьего номера переместится в номер 2³. В общем случае постоялец номера N перемещается в номер 2^N. А как насчёт первой планеты с бесконечным числом жителей? Возьмём число 3 и будем возводить его в степень, соответствующую порядковому номеру каждого прибывающего с этой планеты, и таким образом предоставим им всем номера. Первому — номер 3¹, второму — номер 3² и т. д. Так, P-й прибывший будет заселён в номер 3^P. Эта же логика будет применяться и в отношении прибывающих со всех остальных планет, то есть 5^P, 7^P, 11^P, 13^P и т. д. Теперь, когда каждому постояльцу соответствует его степень простого числа, все постояльцы будут размещены каждый в отдельном номере! Так что у нас есть способ принять бесконечное количество прибывающих с бесконечного количества планет — infinite of infinite!
ЭПИЛОГ
Приём в «Гранд-отеле» имел грандиозный успех!Всем очень понравилось отдохнуть в нём.Это был праздник галактического масштаба,который теперь будут отмечать ежегодно.
«Да будет свободный номер. И свободный номер появился!». (Управляющий бесконечного «Гранд-отеля»).
И в следующий раз, когда вам понадобится номер в отеле, загляните в этот бесконечный отель. Здесь для вас всегда найдётся свободный номер. Разве что ближе к вечеру, возможно, придётся переместиться в один из соседних номеров. 😉
Спасибо, что дочитали. А вы хотели бы остановиться в этом бесконечном отеле?
Проект Байхоу
Каждый может измениться
Парадокс «Гранд-отель» или парадокс бесконечного отеля
Grand Hotel Paradox
В 1920-е годы немецкий математик Дэвид Гильберт придумал известный мысленный эксперимент, чтобы показать, как сложно осознать концепцию бесконечности. Представьте отель с бесконечным количеством комнат и очень трудолюбивым ночным менеджером. Как-то ночью Бесконечный отель оказался полностью заполнен — всё было занято бесконечным количеством гостей. В отель входит мужчина и просит комнату. Вместо отказа ночной менеджер решает освободить для него комнату. Как? Просто. Он просит гостя из комнаты No1 переместиться в комнату No2, гостя из комнаты No2 — в комнату No3 и так далее. Каждый гость переезжает из комнаты n в комнату n+1. Поскольку количество комнат бесконечно, для каждого постояльца найдётся новая комната. А первая комната освободится для нового клиента.
Действия могут повторяться для любого конечного числа новых гостей. Если, скажем, туристический автобус привезёт 40 человек для размещения, тогда каждый постоялец просто переедет из комнаты n в комнату n+40, таким образом освобождая первые 40 комнат.
Теперь приезжает бесконечно большой автобус со счётным бесконечным количеством пассажиров, желающих снять комнаты. «Счётное бесконечное» — ключевое понятие. Автобус с бесконечным количеством пассажиров сначала сбивает с толку менеджера, но он находит способ разместить новых гостей. Он просит гостя из комнаты No 1 перейти во комнату No 2. Потом он просит гостя из комнаты No 2 переместиться в комнату No 4, гостя из комнаты No 3 — в комнату No 6 и так далее. Каждый постоялец переезжает из комнаты n в комнату 2n, заполняя только бесконечное количество чётных комнат. Таким образом, он освободил бесконечное количество нечётных номеров, которые потом занимают пассажиры бесконечного автобуса.
Все счастливы и гостиничный бизнес процветает лучше, чем когда-либо. Вообще, он процветает так же, как и всегда, принося бесконечное количество долларов за ночь. О потрясающем отеле разносятся слухи. Люди съезжаются отовсюду. Как-то ночью происходит невообразимое. Ночной менеджер смотрит на улицу и видит нескончаемую череду бесконечно больших автобусов со счётным бесконечным количеством пассажиров. Что же ему делать? Если он не найдёт для них комнат, отель понесёт бесконечные убытки, и он точно лишится работы. К счастью, он вспоминает, что примерно в 300 году до нашей эры Евклид доказал существование бесконечного количества простых чисел.
Чтобы выполнить, казалось бы, невозможное — найти бесконечные кровати для бесконечных автобусов с бесконечно усталыми путешественниками — ночной менеджер определяет каждого постояльца в комнату с номером первого простого числа — 2, возведённым в степень, равную номеру их настоящей комнаты. Так, постоялец из седьмой комнаты переходит в комнату 2 7 (два в седьмой степени), то есть в комнату No 128.
Пассажиры второго автобуса определяются в комнаты со степенями следующего простого числа — 5. Следующий автобус — со степенями 7. Каждый следующий автобус — со степенями 11, степенями 13, степенями 17 и так далее.
Так как в каждом таком числе только единица и степень с натуральным показателем простого числа могут быть множителями, то номерá комнат не совпадают. Все пассажиры автобусов распределяются по комнатам с помощью уникальной схемы определения комнат, основанной на уникальных простых числах. Так ночной менеджер может расселить каждого пассажира из каждого автобуса. Хотя останется множество незанятых комнат, таких как шестой номер, поскольку 6 не является степенью простого числа. К счастью, начальники не так хороши в математике, поэтому его должность в безопасности.
Схемы ночного менеджера возможны только потому, что хотя Бесконечный отель похож на логистический кошмар, он сталкивается с наименьшим уровнем бесконечности, главным образом со счётным бесконечным множеством натуральных чисел — 1, 2, 3, 4 и так далее. Георг Кантор назвал этот уровень бесконечности алеф-нуль. Мы используем натуральные числа для комнат и для номеров мест в автобусах. Используя высшие порядки бесконечности, такие как действительные числа, эти упорядоченные схемы были бы невозможны, потому что нельзя было бы всегда включать каждое число.
Бесконечный отель действительных чисел имеет «отрицательные» комнаты в подвале, дробные комнаты, поэтому мужчина в комнате No 1/2 подозревает, что него комната меньше, чем у гостя в комнате No 1. Комнаты квадратного корня, например, комната корня из двух, и комната Пи, где гости ожидают бесплатный пирог. Какой уважающий себя ночной менеджер вообще захочет там работать, даже за бесконечную зарплату? Но в Бесконечном отеле Гильберта, где никогда нет свободных мест, но всегда есть ещё одно — ситуации, с которыми сталкивается добросовестный и, возможно, слишком радушный менеджер, напоминают нам, как сложно нашим относительно ограниченным умам осознать такое огромное понятие, как бесконечность. Может, вы поможете решить эти проблемы после хорошего ночного сна. Но, если честно, нам может понадобиться поменять комнаты в 2 часа ночи.
