путь совпадает с модулем перемещения при прямолинейном движении автомобиля

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.

При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:

Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.

Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:

Извлекаем из графика необходимые данные:

Подставляем известные данные в формулу:

Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.

Варианты записи формулы перемещения

Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:

В итоге получается формула:

Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».

Если начальная скорость равна 0 (v₀ = 0), эта формула принимает

Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:

Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.

Перемещение при разгоне и торможении тела

Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают ( а ↑↑ v ). Если векторы имеют противоположное направление ( а ↑↓ v ), движение следует описывать в два этапа:

Этап торможения

Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:

Когда тело тормозит, через некоторое время t₁оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t₁ равна 0:

При торможении перемещение s₁ равно:

Этап разгона

Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:

Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t₂ равна:

При разгоне перемещение s₂ равно:

При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:

Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:

В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:

Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:

Подставляем выраженные величины в формулу:

Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения

Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:

За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:

За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:

За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:

Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:

Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:

Формула перемещения за n-ную секунду

Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с 2. Найти его перемещение за 6 секунду.

Подставляем известные данные в формулу и получаем:

Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:

где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.

Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.

Подставляем известные данные в формулу:

Проекция и график перемещения

Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ ( v ↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены ( v ↑↑ a ), принимает следующий вид:

График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно ( v ↓↑ a ), принимает следующий вид:

Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:

Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.

Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:

Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:

График пути

График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.

В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:

Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.

Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.

При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:

Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:

Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t – «>– 3t 2 (все величины выражены в СИ).

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Источник

Равномерное прямолинейное движение

теория по физике 🧲 кинематика

Равномерное прямолинейное движение — это такое движение, при котором тело совершает за любые равные промежутки времени равные перемещения.

Скорость при прямолинейном равномерном движении

Если тело движется равномерно и прямолинейно, его скорость остается постоянной как по модулю, так и по направлению. Ускорение при этом равно нулю.

Векторный способ записи скорости при равномерном прямолинейном движении:s — вектор перемещения, ΔR— изменение радиус-вектора, t — время, а ∆t — его изменение. Проекция скорости на ось ОХ: s_x — проекция перемещения на ось ОХ, ∆x — изменение координаты точки (ее абсциссы). Знак модуля скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:

Основная единица измерения скорости — 1 метр в секунду. Сокращенно — 1 м/с.

Спидометр — прибор для измерения модули скорости тела.

График зависимости скорости от времени представляет собой прямую линию, перпендикулярную оси скорости и параллельную оси времени. Выглядит он так:

Чтобы сравнить модули скоростей на графике, нужно оценить их удаленность от оси времени. Чем дальше график от оси, тем больше модуль.

Пример №1. Найти модуль скорости и направление движения тела относительно оси ОХ. Выразить скорость в км/ч.

График скорости пересекает ось в точке со значением 10. Единица измерения — м/с. Поэтому модуль скорости равен 10 м/с. График лежит выше оси времени. Это значит, что тело движется по направлению оси ОХ. Чтобы выразить скорость в км/ч, нужно перевести 10 м в километры и 1 с в часы:

Теперь нужно разделить километры на часы:

Перемещение и координаты тела при равномерном прямолинейном движении

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что его модуль равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осями скорости и времени, а также линией, проведенной перпендикулярно оси времени.

При прямолинейном равномерном движении эта фигура представляет собой прямоугольник. Поэтому модуль перемещения вычисляется по следующей формуле:

Вектор перемещения равен произведению вектора скорости на время движения: Внимание!

При равномерном прямолинейном движении путь и перемещение совпадают. Поэтому путь, пройденный телом, можно найти по этим же формулам.

Формула проекции перемещения:

График проекции перемещения

График проекции перемещения показывает зависимость этой проекции от времени. При прямолинейном равномерном движении он представляет собой луч, исходящий из начала координат. Выглядит он так:

Чтобы по графику проекции перемещения сравнить модули скоростей, нужно сравнить углы их наклона к оси s_x.Чем меньше угол, тем больше модуль. Согласно рисунку выше, модули скорости тел, которым соответствуют графики 1 и 3, равны. Они превосходят модуль скорости тела 2, так как их угол наклона к оси s_x меньше.

График координаты

График координаты представляет собой график зависимости координаты от времени. Выглядит он так:

Так как график координаты представляет собой график линейной функции, уравнение координаты принимает

Чтобы сравнить модули скоростей тел по графику координат, нужно сравнить углы наклона графика к оси координат. Чем меньше угол, тем больше модуль скорости. На картинке выше наибольший модуль скорости соответствует графику 1. У графиков 2 и 3 модули равны.

Чтобы по графику координат найти время встречи двух тел, нужно из точки пересечения их графиков провести перпендикуляр к оси времени.

Пример №2. График зависимости координаты тела от времени имеет вид:

Изучите график и на его основании выберите два верных утверждения:

На участке 1 координата растет, и ее график представляет собой прямую. Это значит, что на этом участке тело движется равномерно (с постоянной скоростью). На участке 2 координата с течением времени не меняется, что говорит о том, что тело покоится. Исходя из этого, верными утверждениями являются номера 1 и 3.

Пример №3. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта А (х=0 км) в пункт В (х=30 км). Чему равна минимальная скорость автомобиля на всем пути движения туда и обратно?

Согласно графику, с начала движения до прибытия автомобиля в пункт 2 прошло 0,5 часа. А с начала движения до возвращения в пункт А прошло 1,5 часа. Поэтому время, в течение которого тело возвращалось из пункта В в пункт А, равно:

Туда и обратно автомобиль проходил равные пути, каждый из которых равен 30 км. Поэтому скорость во время движения от А к В равна:

Скорость во время движения от В к А равна:

Минимальная скорость автомобиля на всем пути движения составляет 30 км/ч.

На рисунке представлены графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. Скорость второго тела v₂ больше скорости первого тела v₁ в n раз, где n равно…

Алгоритм решения

Решение

Рассмотрим графики во временном интервале от 0 до 4 с. Ему соответствуют следующие данные:

Скорость определяется формулой:

Так как начальный момент времени и скорость для обоих тел нулевые, формула примет

Скорость первого тела:

Скорость второго тела:

Отношение скорости второго тела к скорости первого тела:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при прямолинейном движении тела по оси Ox.

Алгоритм решения

Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении имеет

Отсюда проекция скорости равна:

Начальная координата x_o = 10 м, конечная x = –10 м. Общее время, в течение которого двигалось тело, равно 40 с.

Вычисляем проекцию скорости:

Этому значению соответствует график «в».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

Решение

Весь график можно поделить на 3 участка:

По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t₁ = 20 c до t₂ = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:

Записываем формулу искомой величины:

s₁ — путь тела, пройденный на первом участке, s₂ — путь тела, пройденный на втором участке.

s₁и s₂ можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:

Теперь рассчитаем пути s₁и s₂, а затем сложим их:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник

Путь совпадает с модулем перемещения при прямолинейном движении автомобиля

Рис. 1.2.1. Траектория и перемещение материальной точки

Рис. 1.2.2. Векторы перемещения материальной точки:
а) неэквивалентность результата перемещения при одинаковой длине вектора;
б) сложение векторов

Очевидно, что, хотя величины перемещений одинаковы, результат далеко не равноценен, поскольку МТ оказывается в разных пространственных положениях. Если МТ совершает сложное движение, которое можно описать, например, двумя последовательными перемещениями

Квадрат модуля вектора (1.2.1) в общем случае можно вычислить, используя теорему косинусов:

К числу векторных величин в механике относят скорость, ускорение, силу и ряд других. Длина отрезка в установленном масштабе имеет смысл модуля вектора, стрелкой показывают направление вектора.

Величины, для определения которых достаточно знать одно число, называются скалярными ( скалярами ). Скалярами являются путь, время, масса, температура и другие.

Рис. 1.2.3. Радиус-вектор материальной точки в зависимости от времени

По определению, соотношение (1.2.4) представляет собой производную по времени:

и называется истинной или мгновенной скоростью МТ. Из Рис. 1.2.4 ясно, что вектор является секущей траектории движущейся МТ.

Рис. 1.2.4. Скорость как секущая траектории материальной точки

1.2.2. Вычисление пройденного пути

Из соотношения (1.2.6) следует, что при малых Δt приближенно выполняется:

Используя (1.2.7), можно приближенно представить:

Подставляя (1.2.9) в (1.2.8), получим:

В пределе при стремлении к нулю всех промежутков Δt i сумма, стоящая в правой части (1.2.10), будет точно равна пути:

Скорость есть функция времени v = v(t). В математическом анализе в общем виде для произвольной функции f(x) задают определенный интеграл следующим образом:

Рис. 1.2.5. Геометрическая интерпретация пути

Движение, при котором скорость, изменяясь как угодно по направлению, не меняется по величине, называют равномерным. Тогда все значения v i в формуле (1.2.11) будут одинаковыми, и общий множитель можно вынести за знак суммы, при этом сумма временных промежутков равна времени t. В результате приходим к простому соотношению:

Из (1.2.14) следует, что при равномерном движении скорость равна пути, деленному на время:

1.2.3. Ускорение

Если ускорение постоянно (движение МТ равноускореннное ), то из (1.2.17) следует:

1.2.4. Нормальное и тангенциальное ускорение

Рассмотрим равномерное движение МТ по окружности. Пусть в рассматриваемый момент времени t МТ находится в положении 1 (Рис. 1.2.6).

Рис. 1.2.6. Равномерное движение по окружности радиуса R

Подставляя (1.2.21) в (1.2.23), имеем:

Разделив обе части (1.2.24) на Δt и переходя к пределу, получим ускорение:

Рис. 1.2.7. К определению полного ускорения

Эти составляющие выберем так, чтобы расстояние от точки 1 до конца вектора было равно модулю скорости в начальный момент времени. Тогда, очевидно, модуль вектора будет равен приращению модуля скорости:

Для вектора полного ускорения запишем:

Тангенциальное ускорение, учитывая (1.2.29), имеет явный вид:

Тогда из (1.2.29), (1.2.31) и (1.2.32) следует:

Итак, вектор полного ускорения равен векторной сумме тангенциального и нормального ускорения, первый из которых ( ) направлен по касательной к траектории, а второй ( ) перпендикулярен к вектору скорости и направлен к центру кривизны траектории (Рис. 1.2.8).

Рис. 1.2.8. Вектор полного ускорения материальной точки

1.2.5. Кинематика вращательного движения.
Угловые скорости и ускорение

Все точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси ОО, движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Радиус-вектор каждой точки за время Δt поворачивается на один и тот же угол Δφ. Поворот тела на некоторый угол φ можно задать в виде отрезка, длина которого равна j, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Для того чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, условились связывать направление поворота и изображающего его отрезка так называемым правилом правого винта. Согласно этому правилу, направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль этого направления, мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (так, как происходит при вращении винта с правой нарезкой резьбы). Векторы, направление которых связывается с направлением вращения, называют аксиальными (в отличие от векторов перемещения, скорости, ускорения, относящихся к полярным векторам).

является модулем угловой скорости тела. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, которая определяется правилом правого винта (Рис. 1.2.9).

Число оборотов в единицу времени (частота вращения) равно:

Точка, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, проходит при этом путь Δs, равный

По определению, линейная скорость МТ равна:

Следовательно, взаимосвязь между угловой скоростью вращения тела ω и линейной скоростью МТ имеет вид:

Итак, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.

Найдем линейное ускорение точек вращающегося тела. Подставляя в выражение для модуля нормального ускорения (1.2.27) линейную скорость (1.2.44), получим:

Используя выражение для модуля тангенциального ускорения (1.2.33) и (1.2.44), имеем:

Следовательно, между тангенциальным и угловым ускорением есть взаимосвязь:

Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорение растет линейно с увеличением расстояния от МТ до оси вращения тела.

Найдем взаимосвязь между векторами и с помощью векторного произведения. Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью (Рис. 1.2.11).

Рис. 1.2.11. Связь между векторами угловой и линейной скорости

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013

Источник